WisFaq!

E macht in complexe getallen

beste wisfaq,
ik heb een vergelijking in de volgende gedaante:
e^z= -1 (z Î C)
gevraagd wordt naar de oplossingsverzameling

ik had het volgende bedacht:
e^z= -1
e^z= e^pi + 2kp
z=pi + 2kp
oplossingsverzameling:
{pi + 2kp|kÎZ} of terwijl {kpi|kÎZ, k oneven}

maar de officiele uitwerking ziet er als volg uit:
|e^z|=|-1| en arg(e^z)=arg(-1)
z=x + iy®e^z=e^(x+iy)=e^x * e^iY= e^x(cosy+isiny)
|e^z| = e^x= 1 (ik zie niet waarom dit 1 moet zijn...), x=0
arg (e^z)=y=p+2pk (ik zie niet waarom dit p moet zijn **)

conclusie:
z=(p+ 2kp)i (kÎZ)
oplossingsverzameling= {kpi|kÎZ, k oneven}

kunt u mij uitleggen hoe ik moet herkennen dat de modulus bij de tweede uitwerking 1 moet zijn?

** hier zou ik p wel herkennen als ik naar mijn eigen uitwerking kijk, immers 2^pi=-1

carlos
23-10-2007

Antwoord

Beste Carlos,

In jouw uitwerking ontbreekt de i bij het veelvoud in de exponent. De complexe exponentiële functie heeft periode 2pi. Op die manier krijg je dezelfde oplossingenverzameling als bij de officiële uitwerking.

De modulus van het rechterlid is |-1| = 1. Dus moet ook de modulus van het linkerlid gelijk zijn aan 1, vandaar |e^z| = 1. Linker- en rechterlid zijn immers gelijk indien de moduli en argumenten gelijk zijn.

mvg,
Tom

td
23-10-2007