WisFaq!

Warmteoverdracht door stroming

Er zijn twee vaten namelijk vat1 gevuld met 80 liter water en vat2 met 600 liter water. Vat2 is in serie geschakeld met vat1.
Vat1 wordt gevoed door cv-ketel die met 7KWTh warmte levert aan beide vaten. De ketel pompt 15 liter per minuut rond met een temperatuur van 80 graden.
Vat2 wordt tevens gevoed met een externe warmtebron van 35 graden (5Kwth).

Nu is mijn vraag: welke formules kan ik gebruiken om te berekenen hoeveel energie er nodig is om beide vaten te verwarmen met dezetwee bronnen. En hoeveel geven de bronnen per minuut aan warmte af aan het water van het vat?

Alvast bedankt voor het oplossen van dit toch wel complexe vraagstuk.

Met vriendelijke groet,
Auke Visser

Auke Visser
23-10-2007

Antwoord

Hallo, Auke.

In eerste benadering gebruik ik geen differentiaalrekening, maar dat zou exactere resultaten geven.
Ik veronderstel dan dat de 15 liter water die per minuut in vat 1 gepompt wordt 80/680 minuut nodig heeft om in vat 2 te komen en 600/680 minuut om vat 2 te verlaten.
Stel dat het water na t minuten een temperatuur van T(t) graden heeft (en 0T(0)80).
Dus als er voor vat 2 geen externe warmtebron zou zijn, dan was
T(t+60/180)=(65*T(t) + 15*80)/80, en
T(t+1)=(585*T(t) + 15*T(t+60/180))/600 = (585*T(t) + 15*(65*T(t) + 15*80)/80)/600 = (597.1875*T(t)+225)/600 = 0.9953125*T(t)+ 0.375
De externe warmte bron levert aan vat 2 per minuut 5/60=1/12 kilowatt, dat is 300000 Joule. Aangezien 1 liter (= kilo) water 4186 Joule nodig heeft om 1 graad in temperatuur te stijgen, wordt er per minuut 71.667463 liter 1 graad warmer, dus dat levert voor vat 2 per minuut een temperatuurstijging van 71.667463/600 = 0.11944577 graden overall.
Dan wordt de voor externe warmtetoevoer gecorrigeerde temperatuurstijging gegeven door
T(t+1)=0.9953125*T(t)+ 0.375 + 0.11944577 = 0.9953125*T(t)+ 0.494446.
Dus per minuut wordt het water (iets minder dan) een halve graad warmer.
Als je nu, bijvoorbeeld, tien graden temperatuurstijging wil bereiken, heb je (ruim) twintig minuten nodig, dat is een derde uur.
Dat vergt van de cv-ketel ruim 7/3 kilowatt en van de externe warmtebron ruim 5/3 kilowatt, samen ruim 4 kilowatt = ruim 14400000 Joule, zeg 15 miljoen Joule.

Ik weet niet of het de bedoeling is dat jullie differentiaalrekening toepassen.
Indien wel, ga dan als volgt te werk:
1) Doe alle berekeningen hierboven per seconde in plaats van per minuut.
2) Stel een differentievergelijking op voor de temperatuurstijging per seconde, en leid hieruit een differentiaalvergelijking af voor T(t).
3) Los de differentiaalvergelijking op en bepaal de functie T(t), uitgedrukt in t en de begintemperatuur T(0)=C.
4) Bereken de tijd die nodig is om een temperatuurstijging van bijvoorbeeld tien graden te bereiken.
5) Bereken de energie die de cv-ketel en de externe warmtebron gedurende die tijd leveren.

Succes!

hr
1-11-2007