WisFaq!

Cirkelbundels

Gegeven de cirkels: C1: X^2 + Y^2 + 6y - 8 = 0
C2: X^2 + Y^2 + 2x + 2y - 2 = 0

Gevraagd:
De vergelijking van de cirkel door de snijpunten die aan de x-as raakt.

Jack
22-10-2007

Antwoord

Beste Jack,
Ik weet niet of je hiervoor een standaard aanpak hebt geleerd, maar we gaan natuurlijk eerst die snijpunten bepalen.
Als je de twee vergelijkingen van elkaar aftrekt krijg je:
4y-2x-6=0, ofwel x=2y-3.
Vul dit in in een van de twee cirkelvergelijkingen en je vindt twee waarden voor y, met de daarbij behorende x-coordinaten.
Ik heb gevonden: (-1;1) en (-2,6;0,2).
Het middelpunt van de gevraagde cirkel ligt op de middelloodlijn van deze twee snijpunten.Dat is de lijn door de middelpunten van C1 en C2.
Bepaal het midden van de twee snijpunten: (-1,8;0,6)
De richtingscoeefficient van de lijn door die twee snijpunten is:(1-0,2)/(-1--2,6)=1/2.
Dan is de richtingscoefficient van de middelloodlijn:-2.
Het middelpunt van de gevraagde cirkel ligt dus op de lijn:
y=-2(x+1,8)+0,6=-2x-3.
Bepaal nu de afstand van een punt op die lijn tot het punt (-1;1):
d=Ö(x_M+1)²+(y_M-1)²
Als de cirkel met middelpunt (x_M;Y_M) de x-as raakt geldt: y_M=d
Los dit op en je vindt als het goed is: y_M=1
(Er is nog een oplossing:y_M=-5. )
Bepaal nu de bijbehorende x-coordinaten en stel de vergelijkingen van de twee cirkels op.
Zou dat zo lukken?

Je kan het ook oplossen door eerst de vergelijking van een cirkel op te stellen die de x-as raakt: (x-x_M)²+(y-y_M)²=y_M².
Vervolgens de twee snijpunten invullen en je komt tot dezelfde oplossing.

Probeer maar eens en bekijk wat het makkelijkste is!

ldr
22-10-2007