WisFaq!

Upper-Bound voor een rij

Beste wisfaq,

Ik zit met het volgende probleem.

Gegeven is de rij P_n+1 = P_n + h(1-P_n)
waar h 0.

De vraag is nu elke rij 'bounded' is voor alle n. Oftewel, bestaat een er een M 0 zo dat |P_n| M als n -- oneindig.

Ik heb het vermoeden dat dat inderdaad het geval is.

In ieder geval: als P_n 0 Þ de rij divergeert naar - onindig.

0P_n1 Þ de rij is stijgend.

P_n 1 Þ de rij is dalend. (·)

Ik probeer het nu als volgt te bewijzen:

Neem aan dat zo'n M niet bestaat en de rij naar + oneindig divergeert. Echter is de rij dalend vanwege (·). Dit is een tegenstelling en dus moet er wel een M bestaan zo dat |P_n| M

Ik hoop dat jullie me kunnen helpen,

Herman

Herman de Vries
17-10-2007

Antwoord

Dag Herman,

Je vermoeden dat de rij begrensd is (=Ndl voor bounded), klopt niet. Althans niet voor alle h.

Als je wat experimenteert met verschillende h- en P₀-waarden dan zal je snel merken dat de keuze van h bepaalt of de rij begrensd is of niet. Tenminste, zolang je niet P₀=1 kiest, want dan heb je een constante rij. Ook zal je allicht merken dat bij h2 je een begrensde rij krijgt, bij h2 krijg je een onbegrensde rij, bij h=2 krijg je een steeds alternerende rij.

Dan moet je dit vermoeden natuurlijk nog aantonen. (NB het volgens mij meest overtuigende bewijs staat onderaan dit antwoord ) Dat kan bijvoorbeeld door gevalsonderscheid: begin eens met 0h1 en P_n1. Dan P_n+1P_n en P_n+1=P_n(1-h)+h1*(1-h)+h=1.
Dus de rij stijgt steeds, maar blijft wel kleiner dan 1, dus ze is begrensd.

Je kan dit nu doen voor elke situatie (dus doe de resterende P-keuzes bij 0h1, doe dan ook eens alles voor h=1, voor 1h2, voor h=2 (telkens kom je een begrensde rij uit), en voor h2 daar kom je een onbegrensde rij uit).

Dat is behoorlijk veel werk, maar het is wel doenbaar voor elk geval. Let erop dat je soms het gegeven voorschrift moet gebruiken, en soms is het handiger om dat te schrijven als P_n+1=P_n(1-h)+h.

Nu kan je dit ook anders doen, bv grafisch, met een webdiagram. Zie deze mathworldpagina. De situatie is dan vrij eenvoudig: je grafiek in het P_n,P_n+1-vlak is een rechte met richtingscoëfficiënt 1-h, je rij zal onbegrensd zijn als dit kleiner is dan -1, dus als h2.

En nog een andere, misschien wiskundig correctere manier: je kan expliciet P_n uitrekenen in functie van P₀:
P_n=P₀*(1-h)ⁿ+hå(1-h)^j
waarbij de som loopt voor j van 0 tot n-1, toon dit aan mbv inductie.
Dus P_n=(P₀-1)*(1-h)ⁿ+1
waarbij gebruik werd gemaakt van de somformule van een meetkundige reeks.

En dan besluit je dat er drie soorten gedrag mogelijk zijn:
- Ofwel h2, dan zal (1-h)ⁿ een wisselend teken hebben maar in absolute waarde naar oneindig gaan, dus de rij is niet begrensd
- Ofwel 0h2 dan zal (1-h)ⁿ naar nul gaan en dus convergeert de rij naar 1, dus de rij is zeker begrensd
- Ofwel h=2 en dan is (1-h)ⁿ gelijk aan (-1)ⁿ en hebben we dus een alternerende rij met P₀=P₂=P₄=P₆=... en P₁=P₃=P₅=P₇=P₉=... dus ook dit is een begrensde rij.

Groeten,
Christophe.

Christophe
22-10-2007