WisFaq!

Sinusregel en halve hoeken

Omgeschreven driehoek ABC met zijde BC=a . Het middelpunt M van de ingeschreven cirkel verbind ik met de hoekpunten B en C en met het raakpunt D op de zijde BC.
Hoek MBD = 1/2· hoek B
BM=tg(1/2·B). Maar ik wil BM met de sinusregel berekenen.
Maw hoe luidt de sinusregel voor halve hoeken in ingeschreven cirkels?

Herman.

Herman
15-10-2007

Antwoord

Herman,
BM=r/sin(1/2B), met r=straal ingeschreven cirkel.
Sinusregel is: In driehoek ABC, met zijde a tegenover A, zijde b tegenover B en zijde c tegenover C, geldt: sinA/a=sinB/b=sinC/c.
Dat heeft dus niets te maken met halve hoeken.
Maar in jouw vraag, hoe bereken ik BM, eventueel mbv sin(1/2B) mis ik wat er gegeven is.

Een paar stellingen: Als s=halve omtrek, dan is BD=s-b en CD=s-c.
Voor de straal r geldt: r=O/s, waarin O=0ppervlak.
Ook de formule van Heron: O=√(s(s-a)(s-b)(s-c))
Als je wil gebruiken: sin(1/2B)=r/BM, dan kan je de goniometrische verdubbelingsformule gebruiken :
cos(B)=1-2sin²(1/2B), dus sin²(1/2B)=(1-cosB)/2.

ALs je meer wil weten, geef dan duidelijk aan wat er gevraagd en wat er gegeven is!

ldr
15-10-2007