WisFaq!

Kettingbreuk met volledige inductie

Bestee wisfaq, ik zit met de volgende vraag.

Gegeven is de ketting breuk c=[1;1,1,1,...]

Ik moet bewijzen dat c_k = 1 + 1/c_k-1

Ik wil dit bewijzen met volledige inductie maar het lukt niet helemaal (wel, het lukt wel een beetje maar ik heb nog niet echt het gevoel of mijn bewijs voltooid is of dat er nog meer stappen nodig zijn). Mijn bewijs is als volgt:

(1) [Basis stap] voor n = 1 hebben we c₁=1+1/c₀=1+1/1 = 2
Dus de stelling is correct voor k = 1

(2) [Inductie Hypothese] Neem aan dat de stelling waaris voor k = m

(3) We willen aantonen dat de stelling waar is voor k = m+1
Welnu, voor k = m+1 hebben we:
c_(m+1) = 1+ 1 / c_((m+1)-1) = 1+1/c_m

En dit is correct bij de inductiehyptohese. Daarom is de stelling waar volgens het principe van volledige inductie.

Ik vroeg me af of dit alles is? Het hele bewijs is eigenlijk maar 1 stapje ...

Vriendelijke groet Herman

Herman de vries
15-10-2007

Antwoord

Daarom ook dat het enorme overkill is om hier concepten als volledige inductie tegen aan te gooien. Waaruit leid je trouwens af dat c_(m+1) = 1+ 1 / c_((m+1)-1) ? Dat is precies wat je moet bewijzen!

Als je het mij vraagt, is wat je moet "bewijzen" gewoon de definitie van wat onder kettingbreuk wordt verstaan, namelijk de limiet van de rij "deelbreuken" die voldoen aan een eigenschap zoals die die je opgeeft.

cl
15-10-2007