Voor k=0,1,2,..., is de integraal van 2kp tot 2kp+2p gelijk aan
(1-e-p) keer de integraal van 2kp tot 2kp+p, en deze laatste integraal is weer gelijk aan e-2kp keer de integraal van 0 tot p.
Verdeel het interval [0,$\infty$) eerst in [0,N) en [N,$\infty$) zo dat de absolute waarde van de integraal over het tweede deelinterval kleiner is dan (1/2)·10-5.
Hiertoe is N=ln(2·105) ruim groot genoeg, want dan
|$\int{}$N$\infty$e-x·sin(x)dx|
$\int{}$N$\infty$|e-x·sin(x)|dx
$\int{}$N$\infty$e-xdx = e-N =
(1/2)·10-5.
Neem voor N het kleinste gehele veelvoud van 2p dat groter is dan (1/2)·10-5. Zeg N=2pM.
Nu moet je de integraal over het eerste deelinterval ook nog zo nauwkeurig benaderen dat ook deze fout kleiner is dan (1/2)·10-5.
Daarbij moet je bedenken dat de integraal van 0 tot N gelijk is aan de som van k=0 tot k=M van (1-e-p)·e-2kp keer de integraal van 0 tot p.
Met behulp van een meetkundige reeks kun je nu berekenen hoe nauwkeurig je de integraal van 0 tot p moet berekenen.
Verdeelt men het interval van 0 tot p in n gelijke deelintervallen van lengte h:=p/n, dan is de benadering volgens Simpson:
(h/6)·(f(x0) + 4 f(x1) + 2 f(x2) + 4 f(x3) + 2 f(x4) + ... + 4 f(x2n-1) + f(x2n)), waarbij x0, x1, x2 begin-, midden-, en eindpunt zijn van het eerste deelinterval, x2, x3, x4 begin-, midden-, en eindpunt van het tweede deelinterval, etc.
Als elk deelinterval gehalveerd wordt, wordt de fout verkleind met een factor 32.
Dus de fout is (31/32)·(benadering met halve deelintervallen min benadering met hele deelintervallen).
Je zult een computerprogramma moeten gebruiken om deze Simpsonbenaderingen te berekenen, net zo lang tot de fout klein genoeg is.
Wacht eens .. tijdens het wandelen realiseerde ik me dat je de integraal van 0 tot $\infty$ ook via een oneindige meetkundige reeks kunt schrijven als 1/(1+e-p) keer de integraal van 0 tot p.
Dat maakt het een stuk eenvoudiger ...
hr
18-10-2007