WisFaq!

Bewijzen

Beste heer, mevrouw,
Ik kom niet uit met het bewijzen van de volgende:

1. bewijs op 2 manieren 1 gewoon 2 sin cos of tan regel gegeven is een rechthoekige driehoek ABC, CD is de hoogte lijn uit hoekpunt C. (geen sin, cos, tan gebruiken) Bewijs Dat |AB|·|BD|=|CD|˛.
2. bewijs: op 2 manieren: 1 gewoon 2 sin cos of tan in een rechthoekig driehoek met een hoek van 30 graden is de kleinste rechthoekzijde gelijk aan de helft van de schuine zijde.
3. ABCD is een willekeurige vierhoek erin getekend zijn de bissectrices van de vierhoeken. Deze sluiten EFGH in. Bewijs dat hoek GHE = hoek BFE is.
4. CF is een deellijn van driehoek ABC. Bewijs dat AF:FB=CA:CB (lijnstukken). Maak gebruik van een hulplijn door A die evenwijdig is met de deellijn.

Met deze opdrachten kom ik niet uit, ik zou erg op prijs stellen als u mij hiermee kunt helpen.

Alvast hartelijk dank!

Tillemans Gerd
12-10-2007

Antwoord

1) Gebruik de gelijkvormigheid van de driehoeken CDA en BDC (uiteraard eerst even vaststellen dát ze gelijkvormig zijn!). Voor de gonio-aanpak: bedenk dat $\angle$CBD = $\angle$DCA en schrijf van deze hoeken eens de tangens op.
Overigens moet het m.i. zijn: CD² = AD x BD

2) Als het 'gewoon' moet: zie zo'n driehoek als de helft van een gelijkzijdige driehoek. Voor de gonio-aanpak: gebruik zaken als sin30° = ¹/₂.

3) Gebruik dat $\alpha$+$\beta$+$\gamma$+$\delta$ = 360° zodat ¹/₂$\alpha$+¹/₂$\beta$+¹/₂$\gamma$+¹/₂$\delta$ = 180°. Maak uiteraard een goede tekening en dan gaat het lukken als je erbij betrekt dat de som van de hoeken in een driehoek 180° is.

4) Verleng BC tot het snijpunt D met de hulplijn. Toon nu aan dat driehoek ACD gelijkbenig is. Gebruik zaken als F-hoek en Z-hoek.

5) Roep niet al te snel om hulp. Meetkunde is vooral stoeien met een figuur en met behulp van een goede tekening ineens zien (of vermoeden) welke hoek gelijk is aan welke andere hoek of welk lijnstuk evenlang is als.....

MBL

MBL
13-10-2007