WisFaq!

Bewijs van convergentie

Hallo Wisfaq,

Ik heb de volgende vraag.

Gegeven is dat x_n convergeert naar een reeel nummer X. Ik moet met dit gegeven (en de epsilon - N definitie van een limiet) nu bewijzen dat x_(n+1) ook naar X convergeert.

Het probleem is dat ik eigenlijk geen idee heb waar ik moet beginnen. Ik hoop dat u mij kunt helpen. Ik hoef geen volledige oplossing of zo te hebben, elke een aanzet zodat ik het zelf kan oplossen.

Bij voorbaat dank,

herman

herman de Vries
12-10-2007

Antwoord

beste,

als een rij convergeert in een ruimte X, met een metriek op, dan kan men de epsilon N defninitie toepassen,

"e$n₀:"nn₀: d(xn,x)e

Deze definitie wil uitdrukken, dat vanaf een bepaalde index ''n₀'' dat de afstand van een rij element, met een index groter dan die bewuste index : n₀, de afstand kleiner dan e wordt. bv 1/n, vanaf een bepaald moment zal 1/n dichter dan e bij 0 komen te liggen. Dus je wil bewijzen dat x_n+1 dichter dan e bij x (het convergentiepunt) ligt.

stel n n₀, dan geldt dat d(xn,x) e

maar dit geldt voor ALLE n groter dan n₀, dus ZEKER voor n + 1, want het getal dat bij deze rijindex hoort ligt zeker dichter dan epsilon bij het convergentiepunt.

dus formeel :

stel n n₀, dan geldt dat d(xn,x) e

d(x_n+1,x) e

winny

wk
12-10-2007