WisFaq!

Autonome vergelijking

Ik heb een vraagje:

Gegeven:

dx
-- + px = f(t)

om een algemene oplossing te krijgen, is de truc om te vermenigvuldigen met e^pt

dan krijg je

dx
e^pt . -- + e^pt . px = e^pt . f(x)
dt

Dat klopt wel. Alleen werd er opeens in ons college een overstap gemaakt om het makkelijker te schrijven: In de vorm:

d
-- (x e^pt) = e^pt . f(x)
dt

En waarom? ik snap dit stukje niet d
-- (x e^pt)
dt

als je dat uitschrijft, komt er toch nooit

dx
e^pt . -- + e^pt . px te staan?
dt

uiteindelijk krijg je dan de oplossing

x(t) = p/q - ce^-pt

dit is dan de algemene oplossing? hoe komen ze eraan?

anne
11-10-2007

Antwoord

beste anne,

de vraagstelling is niet altijd even duidelijk, maar om concreet te antwoorden op je vraag,

^d/_dt(x.e^pt) = ^dx/_dt.(e^pt)+^d(ept)/_dt.x = ^dx/_dt.(e^pt)+ e^pt. px = f(t). e^pt)

Dit is dus de product regel voor afgeleiden, die je wel bekend is.

als je dat dus uitschrijft, krijg je dus jou eerste regel. Denk eraan, je schrijft eerst f(t) en dan f(x), ik neem aan dat dat f(t) moet zijn, maar denk daar aan als je een vraag stelt !

Echter, dit is een scalaire lineaire differentiaalvergelijking,

differentiaalvergelijkingen van deze soort , x' + x.P(x)=Q(t)
in dit geval duidelijk, x' + x. p = f(t)

De integrerende factor, dat is de factor waarmee je vermenigvuldigt om de differentiaalvergelijking tot een exacte differentiaalvergelijking te krijgen, is e^òP(t)dt

dus, e^òP(t)dt is in dit geval e^{òp dt} = e^pt

vermenigvuldig nu met de vergelijking, zoals je daarboven doet, en pas ineens de productregel toe die ik heb toegelicht. Dit zou je een exacte DV moetten geven. Maar in je opgave staat f(t), willekeurige functie?, dan kan je beslist geen oplossing geven die niet afhangt van f(t) zelf, in je oplossing komt opeens een ''q'' te voorschijn, kan je me misschien wat meer vertellen over die bewuste q?

wk
11-10-2007