WisFaq!

Bayes a priori kans

Hallo,
Ik zit met de volgende vraag tav stelling van Bayes.
Ik heb een test om de kwaliteit van een product te bepalen. Er is een 60% kans dat een product van goede kwaliteit is. Er is een test om de kwaliteit definitief te bepalen. Deze test heeft 2 uitkomsten; pass en pass-.
Ik heb daarbij de volgende kansen:
P(Q+|pass)=0.75
P(Q+|pass-)=0.25
P(Q-|pass)=0.25
P(Q-|pass-)=0.75
en ook
P(Q+)=0.6
P(Q-)=0.4

Ik wil nu de kans weten dat een product de test haalt, dus P(pass).
Ik denk dat het dit moet zijn:
P(pass)= P(pass|Q+)P(Q+) + P(pass|Q-)P(Q-)
Ik heb hiervoor P(pass|Q+) en P(pass|Q-) nodig. Ik denk dat ik dit kan bepalen met P(pass|Q+) =P(Q+|pass)*P(pass)/P(Q+). En hier is dan mijn probleem weer; de P(pass) die ik eerst zocht.
Kan iemand me uitleggen hoe ik uit deze vicieuze cirkel kom?

BVD, Suriel

Suriel
11-10-2007

Antwoord

Hallo, Suriel.
Gebruik de definitie van voorwaardelijke kans en het feit dat zowel pass en pass- als Q+ en Q- complementair zijn:

0.75 = P(Q+|pass) = P(Q+Ùpass)/P(pass) = y/x.
0.25 = P(Q-|pass) = P(Q-Ùpass)/P(pass) = z/x.
y+z = P(Q+Ùpass) + P(Q-Ùpass) = P(pass) = x.
Dit levert (niet meer dan) y=0.75x.

0.25 = P(Q+|pass-) = P(Q+Ùpass-)/P(pass-) = v/u.
0.75 = P(Q-|pass-) = P(Q-Ùpass-)/P(pass-) = w/u.
v+w = P(Q+Ùpass-) + P(Q-Ùpass-) = P(pass-) = u.
Dit levert (niet meer dan) v=0.25u.

y+v = P(Q+Ùpass) + P(Q+Ùpass-) = P(Q+) = 0.6.
x+u = P(pass) + P(pass-) = 1.
Dus 0.75x + 0.25(1-x) = 0.6. Hieruit volgt P(pass)=x=0.7 en P(pass-)=0.3

hr
11-10-2007