WisFaq!

Verband tussen hoeverdraaing en een punt op een spiraal

Ik heb gister al een vraag gesteld met de titel: "x en y coordintane in een spiraal" maar ik had het probleem niet helemaal goed geformuleerd en daardoor is het antwoord niet helemaal wat ik zocht. Toch bedankt voor de snelle reactie maar nu zal ik de vraag opnieuw stellen met aanvullende informatie:

Ik heb een ronde plaat met 92 gaten erin. Om te zorgen dat al die gaten op de plaat passen zijn de gaten geplaats in een spiraal. De spoet (afstand tussen twee "cirkels") is ook constant, wat inhoud dat het een archimedische spiraal is. Hemelsbreed is de afstand tussen 2 opvolgende gaten gelijk, namelijk 31.5 mm. Hemelsbreed, de kortste afstand tussen twee opvolgende punten, niet over de booglengte. Dit houdt ook in dat de hoekverdraaing steeds veranderd en dus niet constant is.
De vraag is: wat het verband is tussen de hoekverdraaing en het positie/gat nummer.

ps. voor extra informatie mag U mailen...

Bart Huijgens
10-10-2007

Antwoord

Beste Bart,
Je maakt de vraag zo niet makkelijker!
Als je wel langs de kromme meet kan je de formule voor de lengte van de kromme gebruiken, dan kan je aflezen bij welke draaingshoek die totale lengte bijvoorbeeld 1,2,3,enz t/m 91 is.

ALs je de afstand langs een rechte lijn meet zal je de plaats van de punten een voor een moeten berekenen.
Als het eerste punt in de oorsprong ligt, dan ligt het tweede punt daar 31,5 mm vandaan.
De algemene poolvergelijking voor een spiraal van Archimedes is: r=aq.
De spoed is dan 2pa. (draaingshoek q in radialen).
Er geldt: r_n+1=r_n+Dr=r_n+aDq.
Met de cosinusregel, toegepast in een driehoek met zijden r_n,r_n+aDq en 31,5, met een hoek Dq, kan je nu de volgende vergelijking opstellen:
2(r_n)²+a²(Dq)²+2ar_n-31,5²=2r_n(r_n+aDq)cos(Dq).
Dat geeft je dus een verband tussen de hoekverdraaing Dq en de straal.

Als je begint met r₁=0, dan geldt: r₂=31,5.
Voor r₃ moet je r₂ invullen en dan Dq berekenen.
Daarmee heb je ook Dr=aDq en kan je die optellen bij r₂.
Zo ga je door tot het einde.

Construeren is aanmerkelijk eenvoudiger.
Teken eerst de spiraal en pas daar met een passer steeds koorden van 31,5 mm op af.
In beide gevallen is het lastig de juiste waarde a te bepalen zodat het laatste punt nog net op de schijf past.

Beter lukt het mij niet.

ldr
12-10-2007