WisFaq!

X en Y coordinaten in een spiraal

Ik heb een rond plaat met 92 gaten erin. Om te zorgen dat al die gaten op de plaat passen zijn de gaten geplaats in een spiraal. Nu is de afstand tussen twee opvolgende gaten constant. En de spoet (afstand tussen twee "cirkels") is ook constant, wat inhoud dat het een archimedische spiraal is.
Mijn vraag is: hoe kan ik nu aan de x en y coordinaten berekenen van een gat.

Bart Huijgens
9-10-2007

Antwoord

antwoord aangepast. zie onderaan.

Punten op een cirkel liggen beschrijf je met:
x_n = r·sin(a·n), y_n = r·cos(a·n).
Dan is n het nummer van het punt en a de hoek tussen twee punten (gezien vanuit het midden. Bij een (archimedische) spiraal ligt ieder volgend punt iets dichter bij het midden. (r_n = r₀-b·n).

Je krijgt dan:
x_n = (r₀-b·n)·sin(a·n), y_n = (r₀-b·n)·cos(a·n).

Nu moet je alleen nog a, b en r₀ weten. r₀ is sttraal (afstand tot het midden). b = (straal van het eerste punt - straal van het latste punt)/91. a = (hoek van het eerste tot het laatste punt)/91. Bij dat laatste moet je wel voor iedere hele omwenteling 360° bij de hoek meetellen.

aanpassing:

Collega ldr wees mij er terecht op dat bij deze benadering de hoek tussen de punten (gezien vanuit het centrum) wel constant is, maar de afstand niet.

De afstand tussen twee punten is niet moeilijk te berekenen. Maar een eenvoudige formule die de hoek voor het n-de punt geeft heb ik niet kunnen vinden. Het lijkt erop dat je het beste de spiraal kunt tekenen en vervolgens met een passer steeds de beginpunten neerzetten. Je kunt dit ook met een programma doen. (het )n+1)-ste punt is het snijpunt van de spiraal met een cirkel rond het n-de punt). Maar dat is niet zo heel eenvoudig.

Het wordt wel wat eenvoudiger als je tevreden bent met de afstand gemeten langs de spriaal. Daarvoor is wel een eenvoudige formule. De simpelste beschrijving van een spiraal is: x = a*phi*cos(phi) en y = a*phi*sin(phi). Dat geeft dx/dphi = a*(cos(phi)-phi*sin(phi)) en dy/dphi analoog. De lengte tussen 0 (de oorsprong) en phi is: U(phi) = integraal wortel((dx/dt)^2)+(dy/dt)^2)dphi = a*integraal wortel(1+phi^2)dphi = a*(phi*wortel(1+phi^2)+arcsinh(phi))/2.
Neem nu de begin- en eindstraal. Daarmee vind je de begin- en eindhoek (phi1 en phi92). d=(U(phi92)-U(phi1))/91 is de afstand tussen opeenvolgende gaten (langs de spiraal). Het n-de gat vind je met: U(phin)=U(phi0)+(n-1)*d. Het eenvoudigst doe je dat door een grafiek van U(phi) te tekenen en phin vervolgens grafisch op te zoeken.

os
10-10-2007