WisFaq!

Re: Re: Re: Re: Bewijs oppervlakte vierhoek ABCD mbv sinus

In een koordenvierhoek geldt: pq=AD·BC + AB·CD
Oftewel: (AS+SC)·(DS+BS) = AD·BC + AB·CD
Hoe bewijs je HIERUIT dan dat :AS·SC=BS·SD ?

Herman

Herman
6-10-2007

Antwoord

Herman,

Het bewijs van de stelling van Ptolemaeus kon je zien in:

http://www.pandd.demon.nl/sinregel.htm

Deze vraag komt neer op het omgekeerde bewijs van die stelling:
Als het product van de diagonalen van een vierhoek gelijk is aan de som van de producten van de overstaande zijden, dan is het een koordenvierhoek.
Dat is inderdaad waar, maar veel lastiger te bewijzen.
Zie ook:
http://en.wikipedia.org/wiki/Ptolemy%27s_theorem#Proofs

en voor het bewijs:

http://planetmath.org/encyclopedia/ProofOfPtolemysInequality.html

Er geldt:Het product van de overstaande zijden is groter, of gelijk aan het product van de diagonalen.
Als het gelijk is,dan is het een koordenvierhoek.
In elke andere vierhoek is het product van de overstaande zijden dus groter dan het product van de diagonalen.

Jij begint met het gegeven: pq=AD*BC+AB*CD.
Daaruit volgt dan dat de hoekpunten op een cirkel liggen.
En daarmee bewijs je via gelijkvormigheid dat AS*SC=BS*SD.

ldr
6-10-2007