WisFaq!

Algebraïsche vergelijkingen oplossen

hallo, ik heb een vraag met betrekking tot de volgende opgave:

sin(2x- ¹/₄$\pi$) = - 1/2√3

Aanpak begrijp ik, we moeten de vergelijking vereenvoudigen tot sin(A)=sin(B), dus we moeten opzoeken voor welke sin(A) geldt als uitkomst - 1/2√3. Gezien de sinus betrekking heeft op de Y coordinaat van de eenheidscirkel, is - 1/2√3 onze Y coordinaat. Dan krijgen we, volgens de eenheidscirkel twee mogelijkheden: 1 1/3$\pi$ of 1 2/3$\pi$

oplossen volgens A=B + K . 2 $\pi$ OF A=$\pi$-B + K. 2$\pi$
geeft voor 1 ¹/₃ $\pi$ de antwoorden: x = - 1/24$\pi$+ K. $\pi$ OF x = 19/24$\pi$+ K . $\pi$.

Dit staat ook zo in mijn uitwerkingenboek. Dat klopt dus. Echter, dezelfde stappen voor 1 2/3$\pi$ worden niet genomen. Blijkbaar heb ik dus fout geredeneerd toen ik dacht ook 1 2/3$\pi$ in de formule in te moeten vullen. En dat terwijl ik het toch echt goed dacht te doen. Er zijn dus niet twee mogelijkheden voor - 1/2√3 ?

Samenvatting: de extra antwoorden van 1 2/3$\pi$ zijn dus blijkbaar fout. Waarom is dat ? In de vraag staat alleen 'Los algebraisch op', meer niet.

Bij voorbaat dank.

sander
4-10-2007

Antwoord

Je moet het getal -¹/₂√3 goniometrisch maken (zo noemt men dat soms) en dan heb je in feite oneindig vele keuzemogelijkheden. Maar één keuze is voldoende! Laten we nemen sin(1¹/₃$\pi$), maar misschien ligt sin(-¹/₃$\pi$) nog meer voor de hand.
Dan krijg je, precies zoals je schrijft, de volgende conclusie: x = 1¹/₃$\pi$ + k.2$\pi$ of x = $\pi$ - 1¹/₃$\pi$ + k.2$\pi$.
Ga nu even alleen door met de tweede vergelijking van dit tweetal.
Uit x = -¹/₃$\pi$ + k.2$\pi$ krijg je, als je k = 1 neemt, de oplossing x = 5/3$\pi$ en dat is precies de oplossing waarvan jij dacht dat ie was weggemoffeld.
War hier speelt is het volgende. De oplossingen vormen een oneindig lange rij getallen met een regelmatige toename. Je kunt elk getal in die rij als startgetal nemen. Wanneer nu in je antwoordenboekje een ander startgetal is gekozen dan jouw keuze, dan lijkt het er op dat je eigen antwoord onjuist is. Maar dan moet je gewoon even kijken of je door in jouw antwoord een bepaalde waarde voor k te kiezen het andere startgetal krijgt. Zo ja, dan zit je helemaal goed.

MBL
4-10-2007