WisFaq!

Differentiaal vergelijking oplossen van afkoelproces

Een proces of object koelt af volgens de afkoelingswet van Newton.

- De afkoelsnelheid op tijdstip t = -T'(t) ('= afgeleide)
- Het tempverschil tussen object en omgeving is (T(t)-20) waarbij het getal 20 de omgevingstemperatuur is.

· De afkoelingswet van Newton: De afkoelsnelheid is evenredig met het temperatuurverschil tussen voorwerp en omgeving.

De eerste vraag is: Druk dit uit in een Differentiaal vergelijking?
Het antw:

-T'(t)= (T(t)-20)·C

De tweede vraag:
Los deze Differentiaal vergelijking op? De randvoorwaardes zijn C= 2.00^-1 (uur) & T(0) = 100graden celcius.

Dit is de vraag waarbij het misgaat. Hoe los ik dit op?

Alvast hartelijk dank voor jullie reactie!

gr
Edwin Denissen

Edwin Denissen
26-9-2007

Antwoord

Schrijf de afgeleide als een differentiaalquotiënt:

^dT/_dt = -¹/₂.(T-20)

Scheiding van de variabelen geeft :
^dT/_(T-20) = -¹/₂.dt

De twee leden integreren geeft dan:
ln(T-20) = -¹/₂.t + C₁
of
T-20 = C₂.e^-1/₂.t met C₂ = e^C₁

Uit T(0) = 100 volgt C₂ = 80

Dus : T = 20 + 80.e^-1/₂.t

LL
27-9-2007