WisFaq!

Raaklijn parabool

Bepaal de raaklijn aan de grafiek van de functie y(x)=2x²+2 die x-as snijdt in x=-1

Eigen antwoord:
y = 2x² + 2 (1, 0)
y - y₀/ x - x₀ = m
y - 0 = m (x - 1)
y - mx - m = 0

2x² + 2 = mx - m
2x² - mx + 2 + m = 0
D = (-m)² - 4·2·(2 + m)

= m² - 16 - 8m = 0

a = 1
b = -8
c = -16

D = (-8)² - 4·1·-16 = 64 + 64 = 128

Dit is een te groot getal om naar het goede antwoord te komen

Het antwoord moet zijn:
y = 4(1 - Ö2)x - 4(1-Ö2), y = 4(1 = Ö2)x - 4(1 + Ö2)

Graag heb ik de correcte uitwerking naar dit antwoord, zodat ik dit in het vervolg zelf kan doen.
Ik zou jullie bijzonder dankbaar zijn aangezien ik met de middelen die ik heb hier al vele uren aan heb besteed deze week.

Vriendelijke groet

Edwin Hauwert
22-9-2007

Antwoord

Het idee is dat je een algemene formule op stelt voor de lijn door het punt (1,0). Dat is de vergelijking y=a(x-1) of anders geschreven y=ax-a. Stel de twee funtievoorschriften aan elkaar gelijk en eis dat er maar één oplossing mag zijn (de lijn raakt immers aan de parabool).

ax-a=2x²+2
2x²-ax+a+2=0
Dit geeft 1 oplossing als D=0
D=(-a)²-4·2·(a+2)=a²-8a-16

a²-8a-16=0
(a-4)²-32=0
(a-4)²=32
a-4=-Ö32 of a-4=Ö32
a=4-4Ö2 of a=4+4Ö2

Er zijn dus twee mogelijkheden:

y=(4-4Ö2)(x+1) of y=(4+4Ö2)(x+1)

..en dan ben je er wel. Je kunt het natuurlijk nog anders schrijven, maar dit is ongeveer het idee en werkwijze. Je zat dus aardig in de buurt.

Misschien handig om te onthouden dat een willekeurig lijn door het punt (p,q) te schrijven is als:

y-q=a(x-p) of ook y=a(x-p)+q

Vooral de laatste kan je beter begrijpen als je aan tranformaties denkt.

P.S.
Ö128=8Ö2

WvR
22-9-2007