WisFaq!

Limieten met een macht

Ik vroeg me af hoe je limieten moet berekenen met een macht. Zoals bijvoorbeeld (2ⁿ + 1) / (3ⁿ +1)

Alvast Bedankt!

Steph
15-9-2007

Antwoord

Het probleem is dat teller en noemer naar oneindig gaan en je dus de gewone rekenregels voor limieten niet kan gebruiken (je kan pas echt rekenen met limieten als ze bestaan)

Intuitief: de teller is bijna hetzelfde als 2ⁿ, de noemer bijna 3ⁿ (voor grote n). Dus de breuk zelf is ongeveer 2ⁿ/3ⁿ = (2/3)ⁿ, en aangezien |2/3| 1, gaat dat naar 0 als n blijft toenemen.

Iets preciezer: vermenigvuldig teller en noemer met 3^-n. Er komt dan
[(2ⁿ)(3^-n)+3^-n]/[(3ⁿ)(3^-n)+3^-n]
= [(2/3)ⁿ + 3^-n] / [1 + 3^-n]

Nu kan je wel rekenen met de limieten van de uitdrukkingen apart. De limiet die je zoekt is dan
L = [0 + 0]/[1 + 0] = 0

cl
15-9-2007