WisFaq!

Binomiaalvergelijking van getal (z³=1)

Beste wisfaq,

Op Complexe getallen wordt uitgelegd hoe je deze binominaal vergelijking moet oplossen.
Uit de uitleg kan ik in ieder geval 2 dingen uithalen.
a) 1 moet worden omgezet in poolcoordinaten.
1= (1+o·i). grafisch gezien valt het getal op
de reeele as, waardoor $\alpha$= 0 dit herhaalt zich
elke 2k$\pi$ (k$\in$Z)
b)er zijn 3 oplossingen omdat z tot de derde macht is

wat ik niet begrijp is hoe de ³√ van
(cos0 +isin0) moet berekenen...?!

hoe men aan 0,1 en 2 voor k kan rekenen....?!

kunt u ook bijv. van x⁴=35 laten zien hoe deze uitgewerkt moet worden?

mvg

carlos
9-9-2007

Antwoord

Beste Carlos,

Het door jou aangehaalde stukje is inderdaad niet helemaal helder. Eigenlijjk is het andersom. Je gebruikt een truuk om de vergelijking op te lossen.

Die truuk is als volgt.
Neem je: z = a·(cos($\alpha$)+i·sin($\alpha$))
Dan krijg je: zⁿ = aⁿ·(cos(n$\alpha$)+i·sin(n$\alpha$))
Het is trouwens nog best een klusje om dit te bewijzen.

Kijk nu naar de vgl: z³ = 1 (dus n=3 en a = 1)
schrijf nu: 1 = cos(0)+i·sin(0), dwz 3$\alpha$=0
dan vind je een oplossing: $\alpha$=0 dus z = cos(0)+isin(0)=1.
Maar er zijn nog meer oplossingen.
want je kunt ook schrijven: 1 = cos(2$\pi$)+isin(2$\pi$), dwz: 3$\alpha$=2$\pi$.
Dan vind je een andere oploigne: $\alpha$=2$\pi$/3,
dus: z = cos(2$\pi$/3)+isin(2$\pi$/3).
Er is nog een derde oplossing.
Daarvoor neem je: 1 = cos(4$\pi$)+isin(4$\pi$), dwz: 3$\alpha$=4$\pi$.
Dan vind je: $\alpha$=4$\pi$/3,
dus: z = cos(4$\pi$/3)+isin(4$\pi$/3).
Je kunt nog verder gaan, maar je vindt geen nieuwe oplossingen.
Neem je: 1 = cos(6$\pi$)+isin(6$\pi$), dwz: 3$\alpha$=6$\pi$.
Dan vind je: $\alpha$=2$\pi$,
dus: z = cos(2$\pi$)+isin(2$\pi$)=1 en die oplossing heb je al.

Je kunt dat samenvatten met de notatie zoals dat in het door jou aangehaalde stukje stond. Maar eigenlijk moet je dan zeggen:
1 = cos(2k$\pi$)+i(2k$\pi$)
dus: z = cos(2k$\pi$/3)+i(2k$\pi$/3)
Dan heb je alle oplossingen in een keer (door k=0,1 of 2 in te vullen).

Probeer nu zelf eens jou tweede vergelijking op te lossen. Overigens zou ik liever z⁴=81 nemen. Dan krijg je een mooier antwoord.

Laat je me weten of je er zo uit komt? Groet. Oscar

PS: spreek liever over een oplossing van zⁿ=.. dan over ⁿ√.. De vergelijking heeft namelijk n oplossingen, en er is altijd maar één wortel. Het is niet eenduidig te bepalen welke daarvan de ⁿ√.. is.

os
9-9-2007