WisFaq!

Een + of - teken toekennen aan de hoek van een complexe getal

Beste wisfaq,

Het is voor mij verwarend wanneer een hoek van een complexe getal + of - moet zijn bij het omscrhrijven van een complexe getal naar zijn poolcoordinaten.
Als voorbeeld neem ik de volgende complexe getallen
a=Ö3 -i
b=Ö3 +i
c=-Ö3 +i
d=-Ö3 -i

De modulus van alle vier complexe getallen is Ö(3+1)=2
ik teken nu de complexe getallen en bepaal de absolute hoek welke gemaakt wordt met de reeele as. Hierbij neem ik steeds dus de 'kleinste hoek' die gemaakt kan worden. voor alle gevallen geldt dat
deze hoek cos(Ö3 /2)=1/6p
Nu moet ik deze omzetten naar de juiste notatie rekening houdend met de voorwaarde dat het argument zo gekozen is dat: -pqp.

ik vermoed dat met -pqp bedoeld wordt dat de hoek in het 1e en 2e kwadrant moet liggen....
Zou u kunnen aangeven wat de notatie is van de complexe getallen a t/m d in de gedaante:
complexe getal = cosq+isinq

mvg,

Carlos

Carlos
9-9-2007

Antwoord

De eis -pqp (ofwel -180°q180°) stelt men om eenduidigheid in de schrijfwijze van de complexe getallen te bereiken.
Misschien moet je er eens als volgt tegenaan kijken. Nadat je het getal z zijn plaats hebt gegeven in het complexe vlak, vraag je je af over welke hoek je de positieve reële as moet draaien om langs de voerstraal Oz te vallen. Hierbij hou je natuurlijk rekening met de voorgeschreven eis aan hoek q. Je mag dus maximaal een halve cirkel ronddraaien, met de klok mee of tegen de klok in.
Laten we als voorbeeld eens je complexe getal z = -Ö3 + i nemen.
Het ligt in het tweede kwadrant, Ö3 stapjes naar links en vervolgens 1 stapje omhoog.
De voerstraal Oz maakt met de positieve as een hoek van 150°.
Wanneer je nu de positieve reële as wilt draaien totdat hij langs Oz valt, dan heb je de keuze uit twee richtingen. Ga je met de klok mee, dan moet je 210° draaien en dat wordt dan aangeduid als -210°. Hiermee kom je onder de grens -180° te zitten, dus dit is de 'foute' hoek.
Draai je de positieve x-as echter over 150° tegen de klok in, dan blijf je onder de 180°-grens.
Kortom: -Ö3 + i = 2(cos150° + i.sin150°).
Als je ter controle cos150° = -¹/₂Ö3 en sin150° = ¹/₂ gebruikt, zie je dat het klopt.

De hoeken van je 4 complexe getallen zijn dus achtereenvolgend: -30°, 30°, 150° en -150°

MBL

MBL
9-9-2007