WisFaq!

Rol van deteminant vermenigvuldigen matrices

Wanneer je een 2x₂ matrix (A) bijvoorbeeld 4 maal met zichzelf vermenigvuldigd dus tot A⁵, en dit zelfde doet maar dan met een kleine afwijking $\Delta$x in alleen de eerste matrix, dan vind je dat de afwijking door werkt als $\Delta$x´(det(A))⁴
Dit geldt voor matrices die ingevuld zijn met wegingsfactoren, waarbij de som van iedere rij dus 1 is.

Bij een 3x₃ matrix lijkt er ook een algemene formule te schrijven voor de doorwerking van een afwijking, waarbij de determinant een rol speelt. Ik heb deze formule echter nog niet kunnen vinden, kan iemand mij helpen?

Boj
5-9-2007

Antwoord

Beste Boj,

De determinant heeft een aantal elegante eigenschappen waardoor de oplossing van jouw probleem eenvoudiger is dan het lijkt.

Ten eerste: De determinant van een product is het product van de determinanten. Dus: det(A.B) = det(A).det(B). In jouw geval volgt hieruit: det(A⁵) = det(A)⁵.

Ten tweede: De determinant is lineair in de rijen en kolommen. Als je één rij/kolom verandert kun de verandering van de determinant uitrekenen door de rij/kolom vervangen door alleen de verandering en dan de determinant uit te rekenen. In jouw geval verander je (als ik het goed begrepen heb) één element (a_ij) van de matrix. In dat geval betekent heb bovenstaande: $\Delta$det(A) = constante·$\Delta$x. Die constante heeft overigens een naam. Het heet de codetermiant A_ij.

Met deze twee samen volgt (als je alleen de eerste matrix verandert): $\Delta$det(A⁵) = constante·$\Delta$·(det(A)⁴).

Groet. Oscar.

os
8-9-2007