WisFaq!

Vijfde-machts eenheidswortel

Kunt u mij uitleggen hoe ik kan oplossen:
"Laat zien dat:

z = ((Ö5 - 1)/4) + ((i/4)·Ö(10 + 2·Ö5))
een vijfdemachts eenheidswortel is: z⁵ = 1 "
Els

Els
4-9-2007

Antwoord

Zonder nadenken: bereken gewoon de vijfdemacht van z met Newtons binomiumformule:
(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5
en kijk of er 1 uitkomt.

Met nadenken:
z=re^(iq)=r(cos(q)+isin(q))
z⁵=r⁵e^(5iq)=r⁵(cos(5q)+isin(5q))=1 als r⁵=1 (dus r=1) EN 5q=2kp, want de cosinus daarvan is 1 en de sinus is 0.
(kijk eventueel op de goniometrische cirkel om je hiervan te overtuigen)

Je weet nu dat cos(q)=(Ö5-1)/4 en sin(q)=1/4*Ö(10+2Ö5)

Bereken dan ook cos(5q) en sin(5q), kijk of je 1 resp. 0 uitkomt. Nu wil het toeval (nuja ;-) ) dat één van de andere vragen van vandaag gaat over sin(5q) voorstellen als polynoom in sinq en cosq dus dat komt hier handig van pas.

Nu denk ik wel dat de eerste methode de snelste zal zijn.

Of nog sneller, met iets als Maple

z:=(sqrt(5)-1)/4+I/4*sqrt(10+2*sqrt(5)):
simplify(z^5-1);

............................... 0

Maar dat zou valsspelen zijn natuurlijk

Christophe
4-9-2007