WisFaq!

Polynoom van sin (5x)

Ik heb moeite met de volgende som:
"Druk sin (5x) uit als polynoom in cos(x) en sin(x)."
Zelf denk ik dat je dit kan oplossen met behulp van complexe getallen (bijv: z = r*(cos(x) + i*sin(x)) ) maar ik weet niet hoe je het moet uitschrijven.
Alvast bedankt voor de hulp!

Aron
4-9-2007

Antwoord

Dag Aron,

Een manier om dit op te lossen is zeker de volgende: schrijf sin(5x) als
sin(2x+3x)=sin(2x)cos(3x)+sin(3x)cos(2x) (somformule sinus)
Schrijf dan die 3x als x+2x, pas opnieuw somformules toe, en ga zo verder tot alles in sin(x) en cos(x) staat.

Je wil het blijkbaar met complexe getallen doen, dat kan allicht ook wel: bekijk volgende gelijkheden:
(cos(x)+isin(x))^5=e^(ix)^5=e^(5ix)=cos(5x)+isin(5x)

Dus het imaginaire deel hiervan heb je nodig (kijk maar naar de meest rechtse uitdrukking). Werk dus de vijfdemacht uit (bv met behulp van het binomium van Newton), isoleer het imaginaire deel, en dat zal dan een polynoom in cos(x) en sin(x) zijn. Bovenstaande formule (zonder de e-macht-tussenstap) staat gekend als de formule van de Moivre.

Groeten,
Christophe.

Christophe
4-9-2007