WisFaq!

Lebesgue decompositie

Hallo wisfaq,

Stel f:[a,b]-R is een stijgende functie (R de reëele getallen).

(a)Dan kunnen we f als volgt schrijven:

f(x)=F(x)+g(x)+s(x)

met F,g en s allemaal stijgende functies en
(1)F is absoluut continu
(2)g is continu en g'(x)=0 voor x bijna overal
(3)s is een springfunctie

(b)En F,g en h zijn uniek bepaald op een additieve constante na.

Het hele bewijs van (a) begrijp ik op een klein dingetje na.Maar het lukt mij niet om (b) te bewijzen.

Bewijs
Schrijf f(x)=h(x)+s(x).(dit kan volgens een theorie, er geldt dat h=f-s met h stijgend en continu).

Laat F(x)=int_{a tot x} {f'(t)dt}.Dan is F(x) absoluut continu omdat F(x) de onbepaalde integraal is van een integreerbare functie.

Vraag1.Dit is het enige wat ik niet in het bewijs begrijp; hoe weet je dat f'(t) (Lebesgue) integreerbaar is?

Nu geldt F'(x)=f'(x)=h'(x) bijna overal op [a,b].

Laat g(x)=h(x)-F(x).Dan is g continu omdat F en h continu op [a,b].Ook geldt g'(x)=h'(x)-F'(x)=f'(x)-f'(x)=0 bijna overal op [a,b].De functie g is stijgend want voor a=xy=b,

g(x)-g(y)=h(x)-h(y)-[F(x)-F(y)]
=h(x)-h(y)+int_{x tot y} {h'(t)dt}=0
want int_{x tot y} {h'(t)dt}=h(y)-h(x) voor een stijgende functie h(x).Dus g(x)=g(y) voor xy en dus is g stijgend.

QED

Vraag2.Kan ik nu in het bovenstaande bewijs zien hoe ieder component F, g en s uniek bepaald is op een additieve constante na?

Groeten,

Viky

viky
21-8-2007

Antwoord

Om met vraag 1 te beginnen:
Als f'(t) bestaat geldt f'(t)=lim_n(f(t+1/n)-f(t))/(1/n); de rij continue functies (f(t+1/n)-f(t))/(1/n) convergeert bijna overal, de limiet is dus Lebesgue-meetbaar en integraarbaar omdat zijn integraal kleiner dan of gelijk is aan f(b)-f(a)
Wat vraag 2 betreft: stel je hebt twee decomposities F_1+g_1+h_1 en F_2+g_2+h_2. Dan volgt F_1-F-2 = (g_2+h_2)-(g_1+h_1); links staat iets wat absoluut continu is en rechts iets met afgeleide nul (bijna overal), de linkerkant heeft dus ook bijna overal afgeleide nul en is dus overal nul (wegens absolute continuiteit).
Dus F_1=F_2 en ook g_1+h_1=g_2+h_2. Omdat g_1 en g_2 continu zijn moeten h_1 en h_2 in precies dezelfde punten precies dezelfde sprongen maken, ze zijn dus gelijk; daarmee zijn g_1 en g_2 dan ook gelijk.

kphart
21-9-2007