WisFaq!

Re: Lipschitz conditie

Hallo,

Ik heb enkele vragen wat betreft vraag2.
(1)Waaruit volgt dat je nu kunt bewijzen dat
int_A|f'(y)|dy = M*m(A) ?
(2)de mu in mu(A) is een andere maat dan de m van m(A)? En heeft F' iets te maken met f'?
(3)Ik begrijp niet waarom het volgende geldt: Als m(A_n) (niet mu(A_n)?) niet nul is dan is
int_{A_n|f'(y)|dy =(M+1/n)*m(A_n)M*m(A_n)
waarom is dit zo?
(4)Wat volgt nu precies uit de uitspraak: m(A)=0 waar
A={y:|f'(y)|M}?

Groetjes,

Viky

viky
21-8-2007

Antwoord

(1) niet = maar = (het volgt uit wat tussen haakjes staat)
(2) de F' was een tikfout, dat moest f' zijn; in het algemeen: als je een niet-negatieve functie h hebt dan definieert mu(A)=int_A h(x)dx een (nieuwe) maat op je sigma-algebra (hier: de meetbare deelverzamelingen van R) ik heb h=|f'| genomen. Je hebt nu mu([a,b])=m([a,b]) voor alle intervallen; uit de aftelbare additiviteit van mu en de definitie van m (met m bedoel ik de Lebesgue-maat) volgt nu dat mu(A)=m(A) voor alle meetbare verzamelingen.
(3) op de verzameling A_n geldt |f'(x)|=M+1/n, daaruit volgt de ongelijkheid voor de integraal, je hebt m(A_n)0 nodig voor de ongelijkheid (M+1/n)*m(A_n)M*m(A_n). Conclusie: uit (1) volgt dat m(A_n) nul moet zijn.
(4) hier staat precies wat je wilde bewijzen, namelijk dat |f'(x)|=M (b.o.) (zoek daar de definitie maar van op).

kphart
21-8-2007