WisFaq!

Lipschitz conditie

Hallo wisfaq,

Laat f:R-R (R de reëele getallen).De functie f voldoet aan de Lipschitz conditie
|f(x)-f(y)|=M|x-y| voor een zekere M en voor alle x,y in R d.e.s.d.a. f de volgende eigenschappen heeft:
(1) f is absoluut continu (AC)
(2)|f'(x)|=M voor x bijna overal (b.o.)

Ik heb zelf het volgende bewijs met twee vragen:

bewijs
(-)f is AC dus (volgens een theorie) bestaat f' b.o. en f'is integreerbaar.En,
f(x)-f(a)=int_{a tot x} {f'(y)dy}.
Neem x=b,
|f(b)-f(a)|=|int_{a tot b} {f'(y)dy}|
=int_{a tot b} {|f'(y)|dy}
=M|a-b| wegens eigenschap (2)
Dus f voldoet aan de Lipschitz conditie

(-)Stel dat f voldoet aan de Lipschitz conditie.We moeten laten zien dat f AC continu is, dus we moeten laten zien dat voor eps0 er een delta0 bestaat zodat,
som_{1 tot N} {|f(b_k)-f(a_k)|}eps
als som{1 tot N} {(b_k-a_k)}delta.

vraag.Ik begrijp niet hoe ik dit moet aantonen.

Stel ik heb aangetoond dat f AC is, dan heb ik als in het bewijs van rechts naar links dat,
int_{a tot b} {|f'(y)|dy} = M|a-b|

vraag2.Maar hoe volgt nu dat |f'(y)|= M voor x b.o.?

Groetjes,

Viky

viky
20-8-2007

Antwoord

Vraag 1: neem delta=epsilon/M en gebruik de Lipschitz-conditie om de eerste som af te schatten met M-keer-de-tweede-som.
Vraag 2: Je nu kunt bewijzen dat int_A|f'(y)|dy = M*m(A) voor elke meetbare verzameling A (mu(A)=int_A|f'(y)|dy is een maat); bekijk nu A_n={y:|f'(y)|=M+1/n}, dan is m(A_n)=0 want anders int_{A_n|f'(y)|dy =(M+1/n)*m(A_n)M*m(A_n). Nu volgt dat m(A)=0 waar A={y:|f'(y)|M}.

kphart
20-8-2007