WisFaq!

Re: Inhoud en zwaartepunt van een tetraeder

ik kan het antwoord nog niet zien, ik begrijp 2/3 wel wat er gedaan wordt (de wiskundige handelingen tenminste)maar ik begrijp niet hoe dit zich tot elkaar verhoudt..en hoe ik uiteindelijk aan de formule 1/12·a³·Ö2 mbv integreren kan komen.

de hoogte van de tetraeder en de opp. van het grondvlak is m.b.v. de verhoudingen van het grondvlak te herleiden. dit is geen probleem (hiervoor heb je alleen maar pythagoras voor nodig).

De tetraeder loodrecht leggen op de x-as lukt mij niet...ik weet niet hoe dit eruit moet zien

daarna wordt a vertaald in de hoogte(y=2x®x=y/2)

De inhoud van een elementair prismaatje met hoogte dx = 3Ö(3/8).x².dx dit betekent dus dat de integraal van het oppervlakte de inhoud is???

bij de laatste formule Ö(2/3)a met kom ik helemaal niet uit, ik heb niet kunnen achterhalen hoe u aan deze formule komt, bovendien zijn alle waarden omgezet naar x (hoogte tetraeder) en bij deze formule komt a (lengte ribbe) weer terug.

kunt u mij helpen?

mvg

carlos
19-8-2007

Antwoord

Ik neem aan dat het moeilijk om de redenering te volgen als je je het probleem niet visueel kunt voorstellen. Anderzijds is het ook niet gemakkelijk om deze ruimtelijke gedachtegang via deze weg uit te leggen.
De tetraeder ligt dus met de top in de oorsprong van het assenstelsel, zodat de hoogte samenvalt met de x-as en dus het grondvlak loodrecht staat op de x-as.
Een bepaalde integraal is een limiet van een onder- (of boven-)som. De ondersom bestaat hier uit de som van de inhouden van kleine prismaatjes. De oppervlakte (G) van het grondvlak van deze prismaatjes is afhankelijk van x en de hoogte is (de kleine) dx. De inhoud is dus G(x).dx
Deze x varieert nu van 0 tot de hoogte van de tetraeder, en deze is Ö(²/₃).a
Voor een ruimtelijke voorstelling:

Zie Inhoud piramide [http://www.pandd.nl/stereo/inhoud.htm]

LL
20-8-2007