WisFaq!

Inhoud en zwaartepunt van een tetraeder

De inhoud van een tetraeder is 1/12·a³·Ö2 , waarbij a de lengte van de ribben is. Is het ook mogelijk om m.b.v. integreren de inhoud van dit lichaam herleiden? Zo ja, kunt u een aanzet geven van hoe ik dit moet aanpakken...
Alsvast bedankt.

Carlos
18-8-2007

Antwoord

Je weet dat als a = de lengte van de ribbe
hoogte van de tetraeder = Ö(²/₃).a (*) en
oppervlakte van het grondvlak = ^Ö3/₄.a²

Leg nu de tetraeder is een xyz-assenstelstel zodat de top samenvalt met de oorsprong en het grondvlak loodrecht staat op de x-as.

Voor een willekeurige x-waarde (hoogte) bepalen we nu de oppervlakte van de doorsnede.
De lengte van de ribbe is dan b = Ö(³/₂).x (zie (*))
De oppervlakte van de doorsnede is dan ^Ö3/₄.b² = ^3Ö3/₈.x²

De inhoud van een elementair prismaatje met hoogtre dx = ^3Ö3/₈.x².dx

De bepaalde integraal met x gaande van 0 tot h = Ö(²/₃).a geeft dan de inhoud.

LL
19-8-2007