WisFaq!

Willekeurig lijnstuk in een cirkel

Ik probeer een beschrijving te geven van de cirkel waar ik een vraag over heb. Ik hoop dat hij duidelijk genoeg is..

Driehoek ABC ligt in een cirkel. A ligt links, B en C liggen rechts. Lijnstuk AB (niet de diameter) heeft een lengte van Ö20. Lijnstuk BC heeft lengte 4, en punt C ligt recht onder punt B op de rand van de cirkel. Lijnstuk AC is ook Ö20. Punt A ligt qua hoogte precies in het midden van lijnstuk BC, maar dan aan de linkerkant van de cirkel.

Punt P ligt op lijn BC. BP = 1, PC = 3.
Punt Q ligt vlak achter punt P, op de rand van de cirkel.
Lijnstuk AQ gaat door P. Wat is de lengte van PQ?

Daan L.
14-8-2007

Antwoord

Je blijkt te bedoelen:De hoekpunten van DABC liggen op een cirkel.

Ik neem aan dat je de stelling kent dat op gelijke bogen gelijke hoeken staan. Daarom geldt bijvoorbeeld:ÐAQB=ÐC.
Ook overstaande hoeken zijn gelijk, dus ÐBPQ=ÐAPC.
Zie je al de gelijkvormige driehoeken BPQ en APC?
Dus: PQ/BP=PC/PA.
BP en PC ken je al. Nu nog met twee keer de stelling van Pythagoras PA berekenen.

In het algemeen geldt er de stelling:
Als je twee koorden van een cirkel hebt, AB en CD met snijpunt S (binnen of buiten de cirkel), dan geldt:
SA/SC=SD/SB of SA·SB=SC·SD
Probeer het maar eens te bewijzen voor het geval het snijpunt S buiten de cirkel ligt.
Succes!

ldr
14-8-2007