WisFaq!

Re: Convergentie van rijen

(cos²7)ⁿ

Tjen
14-8-2007

Antwoord

Beste Tjen,

Het gaat dus om lim_n$\to\infty$(cos²7)ⁿ. Zoals gezegd convergeert die rij inderdaad naar nul. Dat komt doordat cos²7 gewoon een getal kleiner dan 1 is.

Je gebruikt een centrale stelling uit de limiet-theorie: Voor ieder getal a tussen 0 en 1 geldt: lim_n$\to\infty$aⁿ = 0. Om dat te begrijpen bedenk je gewoon dat je steeds het volgende getal (uit de rij) krijgt door met a te vermenigvuldigen. Ieder volgende getal is dus kleiner dan het vorige. Even een voorbeeldje: Als a = 0.1 krijg je de rij 0.1, 0.01, 0.001, etc. Het ligt voor de hand dat die rij naar nul gaat.

Omdat de stelling zo centraal is moet je voor het bewijs moet je iets meer van de achtergronden (in dit geval machten) weten. Neem $\epsilon >$0, dan is er een N zodat a^N$< \epsilon$ (je vindt dat door ^alog($\phi$) naar boven af te ronden. Voor alle n$>$N geldt aⁿ$< \epsilon$ (dat bewijs je met inductie). En dus convergeert de limiet naar nul (volgens de definitie van limieten)

Groet. Oscar

PS: Ik moet nog wel even kwijt dat jouw zeer korte reactie nogal onbeschoft op mij overkomt. Wij doen dit werk vrijwillig en verdienen, lijkt mij, iets meer inzet en hoffelijkheid van de kant van de vragenstellers.

os
14-8-2007