WisFaq!

Re: Nde machtswortel

Hallo Christophe,

Heel erg bedankt!!

rest er nog een klein vraagje...

als je moet laten zien dat

(x^1/n)^m = (x^m)^1/n= x^(m/n)

moet ik dat dan op dezelfde manier als de vorige aanpakken? of heeft het in deze te maken met het plaatsen van de haakjes?

Groet,

C.
13-8-2007

Antwoord

Ja, dat kan ook op ongeveer dezelfde manier: voor de linkergelijkheid, stel dat a de n-de machtswortel is uit x, dus a^n=x, dus (a^n)^m=x^m, dus (a^m)^n=x^m, dus a^m=(x^m)^(1/n) en dat is exact wat de eerste gelijkheid zegt. Merk op dat het omwisselen van de volgorde (eerst n, dan m of omgekeerd) hier gebeurt in de gelijkheid (a^n)^m=(a^m)^n. Dat mag, want je kan de machtsverheffing uitschrijven als a*a*...*a, en dan zie je dat er links en rechts telkens m*n keer een a staat.

En dan de derde term in de gelijkheid: tot dusver heb je de exponentiële nog maar enkel gedefinieerd voor een gehele exponent, en voor een exponent 1 gedeeld door een geheel getal (de machtswortels). Nu introduceer je dus ook de breuk als exponent, met de definitie x^(m/n)=(x^m)^(1/n). Dus je moet enkel nagaan of dit wel een goede definitie is. Met andere woorden: als je twee gelijke breuken als exponent neemt, wil je ook hetzelfde resultaat krijgen, dus x^(2/3) moet gelijk zijn aan x^(4/6). Algemener: x^(am/an)=x^(m/n) voor a een natuurlijk getal moet gelden, dus dat betekent dat (x^(am))^(1/an)=(x^m)^(1/n). Dat is gelukkig niet al te moeilijk om aan te tonen vermits je nu al hebt dat de volgorde waarin je exponenten neemt niet uitmaakt:
(x^(am))^(1/an)=(((x^m)^a)^(1/a))^(1/n)=((x^m)^(a/a))^(1/n)=(x^m)^(1/n).

Groeten,
Christophe.

Christophe
13-8-2007