WisFaq!

Deel bewijs formule van binet

Hoi,

Ik moet de formule van binet bewijzen maar ik strand bij een deel daarvan:

p·aⁿ(a²-a-1)+q·bⁿ(b²-b-1)=0 met p$ \ne $0, q$ \ne $0 en a$>$b

Waarom volgt hier nu uit dat a²-a-1=0 en b²-b-1=0?

Alvast bedankt

Laura
8-8-2007

Antwoord

Die conclusie kan je alleen trekken als het bovenstaande verband moet gelden voor elke n in . Bekijk eerst dit voorbeeld. Stel dat

r xⁿ = s yⁿ

Door het ophogen van n tot n+1 wordt het linkerlid x keer groter en het rechterlid y keer groter. Twee mogelijkheden:

1) als beide leden verschillend zijn van nul, dan zal x gelijk aan y moeten zijn om het verband voor elke n te laten kloppen, anders zou de gelijkheid voor n plots een ongelijkheid worden voor n+1.

2) als beide leden gelijk zijn aan nul (ofwel omdat x=y=0, ofwel omdat r=s=0), dan is het niet erg dat x en y verschillend zouden zijn, het resultaat van de ophoging is dat beide leden nul blijven. (0.x = 0.y = 0, ook als x en y verschillend zouden zijn).

In jouw situatie valt de eerste mogelijkheid (en een deeltje van de tweede mogelijkheid) weg omdat gegeven is dat a en b niet aan elkaar gelijk zijn. Het zijn dus de coefficienten "r" (=p(a²-a-1)) en "s" (=q(b²-b-1)) die nul moeten zijn. En aangezien p en q zelf niet nul zijn, zal dat aan de andere factoren moeten liggen...

cl
8-8-2007