WisFaq!

Moeilijke integraal

Dag Wisfaq team,
Ik heb behoorlijk last met volgende integraal:
$\int{}$xe^xsin(x)dx=

Partiële integratie bracht me tot het volgende:
stel e^x=u ; du=e^xdx en dv= xsin(x)dx en v=-xcos(x)+sin(x)
I= -xe^xcos(x) +e^xsin(x) -$\int{}$(-xcos(x)+sin(x))e^xdx
I= -xe^xcos(x)+e^xsin(x)+(·)$\int{}$xcos(x)e^xdx-(··)$\int{}$e^xsin(x)dx
Uitwerken (·) geeft:
e^x(xsin(x)+cos(x))-$\int{}$(xsin(x)+cos(x))e^xdx
Uitwerken (··) geeft:
$\int{}$e^xsin(x)dx
=-$\Delta$e^xd(cos(x))
=-e^xcos(x)+$\int{}$cos(x)e^xdx
En hoe moet het nu verder of ben ik verkeerd bezig.
Vriendelijke groeten,

Lemmens Rik
28-7-2007

Antwoord

Beste Rik,

Het is wat lastig schrijfwerk en wordt ook nogal snel onduidelijk. Ik begin liever even van in het begin. Je kan de partiële integratie natuurlijk op meerdere manieren uitvoeren, ik kies er voor om de factor x via afleiden direct kwijt te spelen.

Ik noteer g = $\int{}$sin(x)e^xdx, dan volgt:

$\int{}$xsin(x)e^xdx = $\int{}$xdg = xg - $\int{}$gdx

De integraal is dus volledig opgelost door g en $\int{}$gdx te bepalen.
Daarbij is g zelf opnieuw met partiële integratie te doen.

mvg,
Tom

td
28-7-2007