WisFaq!

Nauwkeurigheid van een reeks

Ik heb de meeste antwoorden uitgebreid gelezen, maar de mijne niet gevonden. Mijn vraag is: hoe weten we zeker dat de termen die we met een benadering vinden -bijvoorbeeld de zoveelste decimaal van pi - ECHT een decimaal van pi is. En hiermee verband houdend: als we de echte waarde van pi (nog) niet weten hoe weten we dan de fout die gemaakt wordt?

Hans
20-7-2007

Antwoord

In het algemeen weten we de fout niet exect maar kunnen we hem afschatten. Bijvoorbeeld bij de reeks van Leibniz voor $\pi$/4: 1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+...;
Noem de partiele som 1+-1/3+...+(-1)ⁿ/(2n+1) even S_n. Als n even is geldt S_n$>\pi$/4$>$S_n+1; zo volgt dat |S_n-$\pi$/4|$<$1/(2n+3). Op die manier kun je zien hoe goed S_n als benadering van $\pi$/4 is.
Voor andere reeksen kan het afschatten ingewikkelder zijn maar zo krijgen we informatie over de nauwkeurigheid van de benaderingen.
In het bovenstaande geval weten we, bijvoorbeeld, dat S₁₀₀₀ dichter dan 1/2003 bij $\pi$/4 ligt en dus twee correcte decimalen geeft.

kphart
21-7-2007