WisFaq!

Laplace-vergelijking oplossen met Fourier getransformeerde

Beste wisfaq,

Ik ben al een tijd bezig met het oplossen van de Laplacevergelijking op een semi-oneindige strook voor partiele differentiaalvergelijkingen. Het probleem is als volgt:

^¶2u/_¶x²+^¶2u/_¶y²=0
met 0xL en -¥y¥
en randvoorwaarden u(o,y)=g1(y), u(L,y)=g2(y).

De randen bij x=0 en x=L zijn niet homogeen, dus misschien dat het daar een goed idee is om de Fourier-cosinus-getransformeerde te gebruiken... Ook als y®±¥, dan u(x,y)®0, dus leek het mij een goed idee om de Fourier getransformeerde in de y-richting te doen.

Ik heb het een en ander geprobeerd, maar ik kom er niet uit. Het zou heel fijn zijn als u mij een eind op weg kan helpen.

Alvast bedankt! groeten, Mick Kahmann

Mick Kahmann
18-7-2007

Antwoord

Dag Mick,

Mooie vergelijking. Golffunctie in een periodieke potentiaal? Electrische potentiaal? Maar goed. Ik ben geen specialist maar je vindt inderdaad oplossingen van de vorm u = exp(a·x+b·y) met a²+b²=0 oftewel a = ±ib. Bij deze randvoorwaarden heb je het meest aan de combinaties: u(x,y) = e^±kxsin(ky) en u(x,y) = e^±kxcos(ky).
Een beetje grof gezegd: als f₁ en f₂ de fourier getransformeerde van g1 en g2 zijn dan zoek je a en b zodat: f₁(k) = a+b en f₂(k) = a·e^kL+b·e^-kL

groet. oscar

os
22-7-2007