WisFaq!

Volledige inductie

bewijs door volledige inductie dat:

aⁿ-bⁿ deelbaar is door a-b

jef
14-7-2007

Antwoord

Persoonlijk vind ik de eenvoudigste manier *niet* die door volledige inductie, maar wel die die gebruik maakt van een stelling i.v.m. veeltermen: "Een veelterm f(x) is deelbaar door (x-p) als en slechts als f(p)=0". Met andere woorden f(x)=x^n-b^n is deelbaar door x-b als en slechts als f(b)=0. Dat dit laatste zo is, zie je meteen.

Als het dan toch met volledige inductie moet, gebruik dan de observatie dat, als

a^k - b^k = (a-b).P(a,b)

dat dan

a^(k+1) - b^(k+1)
= a.a^k - b.b^k
= a.((a-b).P(a,b)+b^k) - b.b^k
= a(a-b)P(a,b) + (a-b).b^k
= (a-b).(a.P(a,b) - b^k)
= (a-b).Q(a,b)

met P(a,b) en Q(a,b) veeltermen in a en b.

cl
21-7-2007