WisFaq!

Bewijzen met volledige inductie

Ik moet voor de volgende stelling het bewijs leveren m.b.v. volledige inductie:

1·2·3+2·3·4+3·4·5+....+n·(n+1)·(n+2) = 1/4·n·(n+1)·(n+2)·(n+3)

Het probleem zit het dus in het stuk van 1·2·3+2·3·4+...+n·(n+1)·(n+2), dit moet te herschrijven zijn zodat ik dat weer kan invullen, uitwerken en het bewijs kan leveren.

Dus de bedoeling is dat ik daar een stelling voor kan vormen, zoals bijvoorbeeld 1+2+3+4+...+n = 1/2·n(n+1).
Als ik die eenmaal heb is het wel te doen.

Tips en hints zijn welkom :)

Jelle
4-11-2002

Antwoord

Goed, je reeks 1·2·3+2·3·4+...+n·(n+1)·(n+2) is dus gelijk aan:
åa(a+1)(a+2) met a=1 t/m n
Ofwel:
åa³+3a²+2a met a=1 t/m n
Opsplitsen geeft:
åa³ + 3åa² + 2åa met overal a=1 t/m n
Ofwel
åa³ = ¼·(n+1)⁴ - ½·(n+1)³ + ¼·(n+1)²
3åa² = (n+1)³ - 1½(n+1)² + ½n + ½
2åa = (n+1)² - n - 1
Bijelkaar optellen en vereenvoudigen zal geven:
¼·n⁴ + 1½·n³ + 2¾·n² + 1½·n

Hopelijk is dit voldoende.

M.v.g.

PHS
5-11-2002