WisFaq!

Goniometrische vraag

Hee!

Ik zat een oefentoets te maken, en dit was de laatste vraag maar ik kwam er maar niet uit. De vraag is als volgt!:

De baan van een punt P (x,y) in een rechthoekig assenstelsel Oxy is de kormme K gegeven door
x=4-2cos(t)
y=(sint+1)(sint+3)

De vraag is: Er zijn punten op de kromme die dezelfde x waarde hebben en waarvan de y waarden precies 6 verschillen. Bereken elk tweetal punten waarvoor dat is.

Ik zou niet weten hoe ik dit moet doen, jullie vast wel

Groetjes Tess

Tess
26-6-2007

Antwoord

Noem de t-waarden bij deze punten a en b.
Dan volgt uit x(a)=x(b): cos(a)=cos(b) en dus a=b of a=-b. (modulo 2p).
Aan a=b hebben we niet zoveel dus a=-b.

Uit |y(a)-y(b)|=6 volgt dan
|(sin(a)+1)(sin(a)+3)-(sin(-a)+1)(sin(-a)+3))|=6
Verder weten we sin(-a)=-sin(a) dus
|(sin(a)+1)(sin(a)+3)-(1-sin(a))(3-sin(a)))|=6
|sin²a+4sin(a)+4-(sin²a-4sin(a)+4)|=6
|8sin(a)|=6
dus sin(a)=3/4 of sin(a)=-3/4
De y-waarden van deze punten zijn dan: y=1³/₄*3³/₄=¹⁰⁵/₁₆
en y=¹/₄*2¹/₄=⁹/₁₆
Inderdaad:105/16-9/16=96/16=6.

Uit sin(a)=±³/₄ kun je cos(a) berekenen met sin²(a)+cos²(a)=1:
Uit (±3/4)²+cos²(a)=1 volgt cos²a=1-9/16=7/16, dus cos(a)=±¹/₄Ö7
Dus de x-coordinaten van de punten zijn 4-2*±¹/₄Ö7=4±¹/₂Ö7

hk
26-6-2007