WisFaq!

Rozijnen in deeg

Ik heb 20 rozijnen in deeg. Ik maak 10 gelijke broodjes. Wat is de kans dat ik in 1 broodje geen rozijn vind?

Cees Schumacher
19-6-2007

Antwoord

Helaas was het antwoord dat hier eerder stond fout....

Van medebeantwoorder JCS kreeg ik het volgende antwoord:
Beste Cees,
Interessant probleem, maar niet zo simpel.
Iedere rozijn kan in ieder van de 10 stukken terecht komen.
1020 mogelijkheden.
In een andere, meer gebruikelijke vorm:
20 knikkers in 10 bakjes.
Iedere knikker kan (onafhankelijk van de andere knikkers) in ieder van de 10
bakjes vallen.
Bekende zaken:
1) Het aantal knikkers in bakje i is binomiaal verdeeld met n = 20, p = 1/10
De kans dat bakje i leeg is is dus (9/10)^20 = 0,12157...
2) Het aantal lege bakjes X heeft verwachting 10* 0,12157... = 1,12157
(Dit wegens de optel-eigenschap van de verwachting)
Hieruit volgt al dat er vermoedelijk een flinke kans zal zijn op 1 leeg
bakje, maar het kunnen er ook gemakkelijk 0, 2, of 3 zijn.
Met de methode van "inclusie en exclusie" kun je de kans op minstens één
leeg bakje berekenen. Dat gaat zo:
Laat Ai de gebeurtenis zijn : "bakje i is leeg", i = 1, 2,...,10
(Dus PAi = (9/10)^20 )
En verder S1 = PA1 + PA2 + ...+ PA10,
S2 = de som van alle kansen PAiAj (met i < j) Dat zijn er C(10,2) = 45,
Dus S2 = 45*(8/10)^20 = 0,51881...
S3 : de som van alle kansen op drietallen lege bakjes.
S3 = C(10,3) * (7/10)^20 = 0,09575...
Enzovoort.
Dan zegt de regel van inclusie en exclusie :
P(minstens één bakje leeg) = P(X„ 0) = S1 - S2 + S3 - S4 +.....- S8 + S9.
Ook voor de kansen op 1, 2, etc zijn er formules.
P(X = 1) = S1 - 2*S2 + 3*S3 - 4*S4 + ...
P(X =2) = S2 - 3*S3 + 6*S4 - 10*S5 + ...
Algemeen:
P(X=k) = Sk - C(k+1,k)*Sk+1 + C(k+2,k)*Sk+2 ....
Als je meer wilt weten over deze fraaie methode, lees dan bv het klassieke
boek van W. Feller: An Introduction to Probability Theory.
Of een ander goed boek natuurlijk.
Groet,
JCS

hk
19-6-2007