WisFaq!

Oppervlakte integraal: integreren over een ellips

De volgende oppervlakte integraal moet ik oplossen. Ik heb het op verschillende manieren geprobeerd (poolcoordinaten en aangepaste poolcoordinaten) maar kom er niet uit. Ik zou graag opweg geholpen willen worden.

Bereken de oppervlakte van
S{(x,y,z) z=.25x²-.5y²+1 , .25x²+y²1}

Vriendelijke groeten,

Gerda

Gerda
18-6-2007

Antwoord

Dag Gerda,

Het gebied in het xy-vlak waarover je moet integreren, is een ellips (want de vergelijking is van de vorm a²x²+b²y²=c²).

Een cirkel met straal 1 kan je parametriseren met x=cosq, y=sinq. Dat klopt dan omdat x²+y²=cos²q+sin²q=1. Hier zie je dat je moet stellen x=2cosq, y=sinq, want dan geldt .25x²+y²=.25*4cos²q+sin²q=cos²q+sin²q=1.

Dat is de vergelijking van de ellips, het gebied binnen die ellips kan je nu beschrijven door x=2r cosq, y=r sinq. r loopt van 0 tot 1, q van 0 tot 2p. Dan kan je met deze coördinaten vrij gemakkelijk de integraal oplossen die je krijgt als je de formule van oppervlakte van een oppervlak toepast. Vergeet de jacobiaan niet die dxdy correct moet omzetten in drdq.

Groeten,
Christophe.

Christophe
19-6-2007