WisFaq!

differentiaalvgl: rechterlid is oplossing van homogene vergelijking

ik de dv y'' - y = x^x

De homogen oplossen is geen probleem maar loopt vast met yp want e^x komt voor in de homogene en hoe nu verder??

is het als vogt? : -1 = a x^2 e^x
1 = a x^2 + 2axe^x +2ae^x
- 2axê^x
----------------------------------------------------------
geeft a-a = 0
2a - 2a = 0
dus is 2a = 1 a = 0,5

dan word eind oplossing y = C1 e^x + C2 e^-x + ¹/₂ x^2 e^x

m vr gr

Lia

lia slabbekoor n
13-6-2007

Antwoord

Dag Lia,

De opgave was niet geheel duidelijk, dus komen er twee antwoorden :-)

--------------

1. de opgave was y"-y=e^x (en niet x^x)?

Dan is je homogene oplossing, C₁e^x + C₂e^(-x), alvast correct.

Voor de particuliere zou je normaal gesproken a·e^x proberen, maar vermits dat al een oplossing is van de homogene, probeer je dit voorstel met x te vermenigvuldigen. Dus kies y = a x e^x, werk y"-y uit, stel het gelijk aan het rechterlid e^x, bepaal a en je bent er. Dat komt inderdaad op a=1/2 uit.

Opl: y = C₁e^x + C₂e^(-x) + 1/2 x e^x

--------------

2. de opgave was y" - y = x e^x (en niet x^x)?

Dan is je homogene oplossing, C₁e^x + C₂e^(-x), nog steeds correct.

Je rechterlid is nu van de vorm: een eerstegraadsveelterm maal een exponentiële, dus je zou dan voor de particuliere denken aan (ax+b)e^x. Die b*e^x is echter een oplossing van de homogene, dus dat stuk zal geen bijdrage leveren als je het invult in het linkerlid. Dus probeer eens met axe^x. Dat werkt echter niet, inderdaad omdat e^x al een oplossing is van de homogene. Je moet dus nog een graad hoger gaan, dat betekent een tweedegraads maal de exponentiële, waarbij weer de constante term geen bijdrage levert: (ax²+bx)e^x. Als je dit gelijk aan y stelt, en je berekent y' en y" en dus het linkerlid, dan komt dit uit op (4ax+2(a+b))e^x, stel dit gelijk aan de xe^x uit het rechterlid en je vindt a=1/4, b=-1/4.

Opl: y = C₁e^x + C₂e^(-x) + 1/4 e^x (x²-x)

---------

Groeten,
Christophe.

Christophe
13-6-2007