WisFaq!

Straal grootste bol in tetraedische holte

Gegeven zijn vier bollen met gelijke straal R die "zo dicht mogelijk bij elkaar liggen", dus elkaar raken volgens een tetraedische schikking (de middelpunten van de bollen vormen de hoekpunten van een regelmatige tetraeder). In het midden tussen deze vier bollen is er een opening. Nu is mijn vraag: wat is de verhouding van de straal van het grootst mogelijke bolletje dat zich in deze opening kan bevinden (zodat het kleine bolletje de vier grote bollen net raakt) tot de straal van een grote bol R ?
Alvast bedankt !

Steven
2-11-2001

Antwoord

Stel dat de 4 grote bollen straal 1 hebben. De middelpunten van die bollen zijn de hoekpunten van een regelmatige tetraeder. Die teraeder zit weer in een kubus en wel zo dat die hoekpunten ook hoekpunten van de kubus zijn en de ribben van de tetraeder diagonalen van zijvlakken van de kubus.

Omdat die diagonalen lengte 2 hebben (2 maal de straal van de bollen) is de ribbe van de kubus 2 (het middelpunt van kubus en tetraeder vallen samen).

De afstand van middelpunt kubus tot hoekpunt is ¹/₂6.

Dus de straal van het kleine bolletje is : ¹/₂6 - 1 = 0.2247448

Zie Closest Packing [http://www.science.uwaterloo.ca/~cchieh/cact/c123/tetrahed.html]

JCS
19-11-2001