WisFaq!

Eliminatiemethode van Gauss

Hallo, ik heb de volgende vergelijking:

{x - y + 2z = 2
{2x - y + 2z = 3
{x + y + z = 0

Nu moet ik met de Gauss methode de waarde x, y en z bepalen.
Alleen kom ik er niet helemaal uit.

De eerste stap die ik doe is de x, y en z even weglaten:

[1 -1 2][2]
[2 -1 2][3]
[1 1 1][0]

Nu moet ik dus van de linker boven hoek naar rechts onder allemaal eenen krijgen (op de pivot) en daaronder dus allemaal nullen.

Het eerste getal is al een 1 dus ik begin bij de tweede rij. Het eerste cijfer in de tweede rij is een 2. Om dat nul te krijgen moet ik dus -2 * 1 + 2 doen.

En dat doe ik dus de hele tweede rij, -2 vermenigvuldigen met het getal uit de eerste rij van links naar rechts. Waardoor ik dus het volgende krijg:

[1 -1 2][2] met -2
[0 1 -2][-1]
[1 1 1][0]

Nu heb ik dus de middelste rij afgewerkt. Nu moet ik dit ook doen met de onderste rij.

[1 -1 2][2]
[0 1 -2][-1] met -1
[1 0 3][1]

Ten eerste weet ik niet zeker of het bovenstaande wel goed is gegaan en ik weet ook niet hoe ik precies verder moet vanaf hier. Zou iemand me hier verder mee kunnen helpen.

wes
11-6-2007

Antwoord

Je eerste stap (de nul krijgen op de tweede rij, eerste kolom) was goed: je houdt de eerste rij vast en je vervangt de tweede rij door een combinatie van de eerste en de tweede rij. In dit geval: R₂ wordt vervangen door R₂-2R₁.

De volgende stap echter niet: je wil nu een nul krijgen op de derde rij, eerste kolom. Daar staat een 1, daarboven (eerste rij, eerste kolom) staat ook een 1. Dus je wil nu R₃ vervangen door R₃-R₁. Je nieuwe derde rij krijgt dan de elementen 1-1=0, 0-(-1)=1, 3-2=1, 1-2=-1.

1 -1 2 2
0 1 -2 -1
0 2 -1 -2

De nullen in de eerste kolom staan nu goed, dus gaan we naar de tweede kolom. Met de eerste rij moet niks gebeuren, met de tweede ook niet, want het element op de tweede rij, tweede kolom, is een 1 en dat hoort zo. Mocht dit niet zo zijn, dan kan je natuurlijk altijd deze tweede rij volledig delen door het getal op die plek, dan heb je meteen een 1. Alleen op de derde rij, tweede kolom, moet je nog een nul krijgen. Op de pivot (tweede rij, tweede kolom) staat een 1, dus wat moet je doen: vervang R₃ door R₃-2R₂. Het is belangrijk dat je hier een combinatie neemt van de rij die je wijzigt (R₃) met je pivotrij (R₂). Mocht je immers R₃ vervangen door R₃+2R₁, dan zou je de nul kwijtspelen op de derde rij, eerste kolom!

Goed, je krijgt nu

1 -1 2 2
0 1 -2 -1
0 0 3 0

Dan ga je terug naar de stelselnotatie:

x-y+2z=2
y-2z=-1
3z=0

En dan begin je onderaan: uit de laatste vergelijking haal je z=0. Vul dit in in de voorlaatste, je krijgt y=-1. En vul deze resultaten in in de eerste, je krijgt x-(-1)+2*0=2, dus x=1.

De oplossing van je stelsel is dus x=1,y=-1,z=0. Je kan dit invullen in je opgave om na te gaan dat dit klopt.

Groeten,
Christophe.

Christophe
11-6-2007