WisFaq!

Middellijnen van een parabool

'kzal mijn vraag even verduidelijken door de tussen stappen van het handboek te gebruiken :

33. Middellijnen van de parabool
a.) teken in de parabool y² = 2·x een zestal evenwijdige koorden en bepaal hun middens. wat stel je vast ?

b.) bewijs je vermoeden als de koorden evenwijdig zijn met de rechte y = x ( de vergelijking is dan y = x + q)

c.) bewijs de eigenschap algemeen voor de parabool y² = 2·p·x en de koorden y= m·x + q . waarbij m vast is en q veranderlijk

Ik hoop dat dit meer verduidelijking teweeg brengt in verband met de vraagstelling, ook al weet ik niet wat ze precies bedoelen ...

Benjamin
2-11-2002

Antwoord

Vraag a.
Verbind de middens van die zes koorden met elkaar.
Wat denk je?
Zouden die middens soms op een rechte lijn liggen?

Voorafgaand aan de beantwoording van vraag b en c.
Uit de vierkantsvergelijking ax² + bx + c = 0 volgt voor de som x₁+x₂ van de wortels x₁ en x₂:
x₁ + x₂ = (-b) / a
Ga dit na, immers
x₁ = (-b + ...) / ... ; x₂ = (-b - ...) / ...
En ...
Voor de coordinaten (xm ; ym) van het midden M van een lijnstuk AB met A(a₁ ; a₂), B(b₁ ; b₂)
geldt
xm = (a₁+b₁) /2 ; ym = ...

Vraag b.
We snijden de lijn y = x + q (die lijn is evenwijdig met y = x) met de parabool y² = 2x.
We vinden dan (door eleminatie van y):
(x + q)² = 2x
of
x² + (2q - 2) x + q² = 0
Voor de som x₁ + x₂ van de wortels (dat zijn de x-coordinaten van de snijpunten) hebben we dan:
x₁ + x₂ = 2 - 2q
Voor xm (de x-coordinaat van het midden van de koorde) geldt:
xm = 1 - q
Maar dat midden ligt op de lijn met vergelijking y = x + q
Substitutie van xm geeft dan
ym = (1-q) + q = 1.
De y van het midden van zo'n koorde (bij variabele q) is dus constant.
De middens liggen dus op de lijn y = 1 (een lijn evenwijdig met de hoofdas van de parabool).
Nb.
De meetkundige plaats van de middens van evenwijdige koorden van een kegelsnede (dus ook van een parabool) worden middellijnen van die kegelsnede genoemd.

Vraag c.
Hierin wordt naar een algemeen bewijs gevraagd, uitgaande van de rechte lijn y = mx + q en parabool y²=2px (in vraag b was m = 1 en p = 2).
Op dezelfde manier als in b vinden we dan de vierkantsvergelijking in x:
m²x² + (2mq - 2p)x + q² = 0
Dit leidt dan na verdere berekening (analoog aan die bij vraag b) tot:
ym = m . (p - mq)/m² + q = p /m
En ook hier is (wat we mochten verwachten) ym een constante (immers p en m zijn constant).
Ook nu een lijn evenwijdig met de hoofdas van de parabool.

Applet werkt niet meer.
Download het bestand.

Toelichting

Het punt Q bepaalt in het plaatje de parameter q.
De parameters p (tussen -2½ en +2½) en m (tussen -6 en +6) kunnen eveneens worden gewijzigd.
Het plaatje kan zonodig door de CTRL toets tegelijk met de linker muisknop in te drukken in z'n geheel worden verplaatst.

In het plaatje wordt NIET de waarde van p, maar de waarde van ¹/₂pweergegeven!

dk
2-11-2002