WisFaq!

Eigenwaarden, vectoren en toestanden

Toestandsruimte M = { x element uit R4, x1, x2, x3, x4 >= 0)
De eigenwaarde lambda = 3, komt 1 keer voor, met eigenvector (1,3,2,1), de eigenwaarde lambda = 2, komt 2 keer voor met eigenvectoren (3,1,-6,5) en (0,1,2,5), en de eigenwaarde lambda = 0,4 komt 1 keer voor met eigenvector (1,0,-7,4). Ik weet al dat eigenvectoren met een term < 0 niet van toepassing zijn, dus alleen (1,3,2,1) en (0,1,2,5).

Nu de vraag: Gevraagd: de toestanden uit M die asymptotisch naar een toestand met constante procentuele verdeling gaan.

Hoe pak ik dit aan?

Sander
1-11-2002

Antwoord

Hoi,

Je hebt het over een lineaire transformatie met matrix A die een vector X afbeeldt op A.X. We noteren de eigenwaarden l_i en de bijhorende eigenvectoren v_i. We hebben dus: A.v_i = l_i.v_i.

We construeren matrix V zodat de i-de kolom v_i is. We hebben dan dat: A.V= V.L, waarbij L=diag(l_i), de diagonaalmatrix met op de i-de kolom (en rij) de waarde l_i. Bemerk dat L^k=diag(l_i^k)

Je gaat na dat de eigenvectoren onafhankelijk zijn. Dit betekent dat det(V)<>0 en dat V^-1 bestaat. Dit betekent ook dat we elke vector X kunnen schrijven als een lineaire combinatie van de eigenvectoren, namelijk: V.X’=X met X’=V^-1.X

We bekijken nu wat er gebeurt als we de transformatie herhaaldelijk toepassen. Een vector X wordt na k transformaties afgebeeld op A^k.X.

We proberen nu die macht van A eenvoudiger voor te stellen:
A^k.X=
A^k.V.X’=
A^k-1.(A.V).X’=
A^k-1.(V. L).X’=
A^k-2.(A.V). L.X’=
A^k-2.( V. L). L.X’=
A^k-2.V. L².X’=
..
V. L^k.X’=
V. L^k. V^-1.X
(Hier herken je wellicht de eigenwaardenvorm van A in, mocht je dit concept kennen)

Voor k®¥ wil je een ‘constante procentuele verdeling’. Dit betekent dat lim (k®¥) van A^k.X eindig moet zijn.
Dit kan enkel als X’ zo is dat L^k.X’ geen componenten l_i^k bevat met |l_i|>1. Deze componenten leiden namelijk tot oneindige limieten. X is dus van de vorm V.X’ waarbij x’_i=0 als |l|>1. Of nog: als U={v_j} de subset is van eigenvectoren bij eigenwaarden l met |l|1, dan moet XÎspan(U). Of nog anders: X moet een lineaire combinatie zijn van eigenvectoren die horen bij eigenwaarden die in absolute waarde niet strikt groter zijn dan 1.
Dit betekent concreet dat X van de vorm (m,0,-7m,4m) moet zijn, maar dan kunnen niet alle componenten terzelfdertijd groter dan 0 zijn... Enkel met m=0 en X=0 zouden we dan een oplossing hebben...
Groetjes,
Johan

andros
4-11-2002