WisFaq!

Re: Aantrekker en aantrekkingsgebied bewijzen

het gaat over complexe getallen. het inleidende verhaaltje er bij is; in het hoofdstuk over itereren hebben we gezien dat de functie f(x)=x²-0,5 als aantrekker heeft het punt x=-0,366. alle startwaarden tussen -1,366 en 1,366 worden bij het itereren naar deze aantrekker toe getrokker. het interval -1,366;1,366 wordt ook wel het aantrekkingsgebied genoemd, het is de verzameling van alle startwaarden die naar de aantrekker worden toegetrokken. aan het eind van dat hoofdstuk hebben we gezien dat je ook met complexe getallen kunt itereren. ook in het complexe vlak kunnen we dus spreken over aantrekkers en aantrekkinggebieden. het aantrekkingsgebied is in dit geval een deel van het complexe vlak.
en dan is de vraag:Gegeven is de functie: F(z)=z². bewijs dat in dit geval z=0 de aantrekker is en het aantrekkingsgebied de cirkelschijf is die wordt beschreven door |z|1. hoe moet je dit bewijzen?

sieg
29-5-2007

Antwoord

Met andere woorden, te bewijzen: definieer z₀=z en telkens z_n+1=F(z_n) dan geldt lim z_n=0 als |z|1 en de limiet is niet 0 als |z|1. Toon eerst eens aan dat z_n=z²ⁿ -- z-tot-de-macht(2-tot-de-macht-n). Dan is het niet moeilijk de eerste limiet te bepalen; voor het geval |z|1: de modulus van z_n is altijd ten minste 1.

kphart
31-5-2007