WisFaq!

Basis en dimensie

Ik moet een taak oplossen over vectorruimtes, en ik weet niet hoe ik de basis en dimensie van de volgende opgave moet zoeken.
Stel c een reële constante en f een afleidbare functie van naar. en voor elke x geldt: D(f(x))=f(x+c)

Pieter Vlekken
23-5-2007

Antwoord

Beste Pieter,

Dit is nog niet zo'n eenvoudig probleem als je het helemaal netjes wilt doen. De oplossing hangt er vanaf watvoor theorie je wilt gebruiken. Ik geef dus maar een paar tips. Zie maar wat je ermee wilt, aan laat van je horen als eea verduidelijkt moet worden.

Overigens neem ik aan dat je het hebt over de vectorruimte van alle functies f die aan jouw verglijking voldoen. Je moet dat nog even bewijzen maar dat is inderdaad een vectorruimte.

Het meest rechttoe rechtaan is natuurlijk: proberen de vergelijking op te lossen. Maar ook dat gaat niet zomaar. Mijn idee is dat je tussen x=0 en x=c zelf mag kiezen hoe je functie eruit ziet. Vervolgens ligt f'(x) vast tussen x=-c en x=0. En dus vind je (door te integreren) f(x) in dat interval. Vervolgens gaat het weer verder met het interval x=-2c tot x=-c, etc. etc.

Wat betreft de basis. Ik zou het zoeken in de functies f(x) = sin(ax). Het is niet moeilijk uit te vinden voor welke waarden van a dat voldoet. Je komt er dan al snel op dat je dimensie oneindig is. Dat maakt het ook niet eenvoudiger. Vervolgens moet je eigenlijk nog bewijzen dat je basis volledig is. Dat gaat eenvoudig met wat verwijzingen naar fourriertransformaties. Maar, is dat de bedoeling?

Groet. Oscar

os
24-5-2007