WisFaq!

Inverteren van functies

Ik zit met het volgende probleem:

Als een gebied wordt ingesloten door f(x), de y-as en de lijn y=a, hoe bereken ik dan de oppervlakte van dat gebied, en eventueel de inhoud, in het geval van een omwentelings lichaam.

kun je me de basis methode uitleggen voor het inverteren van standaard functies. Ik kan dit namelijk nergens in mijn lesmethode vinden.

ook ben ik erg benieuwd wat de inverse van f(x)= x·√x

want, de inverse van g(x)= x⁴ is toch h(x)=x^1/4

dus ik dacht f(x)= x·√x= x^1.5
g(x)= x^1/1.5=x^2/3 maar volgens de uitwerking in het antwoordenboek klop dit niet. Is mijn antwoord fout, of staat het verkeerd vermeld in het antwoordenboek?

alvast bedankt,

Boy-Santhos van der Sterre
15-5-2007

Antwoord

De inverse functie vinden, komt in feite neer op: spiegelen in de lijn y=x. (zeg maar: de diagonaal): Van ieder punt op de curve verandert de y-coördinaat in de x-coördinaat, en de x- in de y-coördinaat.
Stel eens dat je de functie f(x)=√x hebt.
De vergelijking van de curve is dan y=√x
Wanneer je de inverse functie wilt vinden, wissel je alle x'en in y om, en alle y'en in x. Zodoende wordt de curve van de inverse functie:
x=√y
De laatste stap is dan om dit om te schrijven in de vorm van y=...
In dit geval wordt het y=x². zodoende is f_inv(x)=x²
Let er altijd GOED op dat de domeinen vaak niet hetzelfde zijn!
Het domein van de originele functie is het bereik van de inverse functie, en het bereik van de originele functie is het domein van de inverse functie.

Nu g(x)=x√x. Dit is hetzelfde als g(x)=x^3/2.
Hierbij hoort de curve y=x^3/2. inverse: wissel y en x om.
x=y^3/2.
Links en rechts tot de macht ²/₃ doen: y=x^2/3
(hetgeen ook te schrijven is als y=(x²)^1/3=³√(x²)
Dus de inverse functie is g_inv(x)=³√(x²)

Tot zover over het vinden van de inverse. Waar het jou (mede) om te doen was, was het berekenen van oppervlaktes tussen curves en de y-as. (ipv de (gebruikelijke) x-as).
Normaliter bereken je een oppervlakte door $\int{}$y(x).dx
Maar nu gaat het om de oppervlakte tussen curve en Y_AS:
Daarvoor wil je feitelijk alleen maar weten hoe de x-waarde van y afhangt. Daarna bereken je _y=a$\int{}$^y=bx(y).dy

hopelijk helpt dit je iets verder.
groeten,
martijn

mg
15-5-2007