WisFaq!

Volume omwentelings lichaam

van de functie y= 1/(x+1)tot de macht2 maal e tot de macht x/x+1.
hiervan moet ik het volume van het omwentelingslichaam berekenen dat ontstaat wanneer de grafiek van deze functie tussen de grenzen x=0 x=oneindig gewenteld wordt om de x-as

karel
14-5-2007

Antwoord

f(x)=(1/(x+1)²).exp(x/x+1)

Als je het volume van het omwentelingslichaam wilt weten, moet je dus berekenen:
I=pò{f(x)}²dx

Het lastige hierbij is om de primitieve van {f(x)}² te vinden

{f(x)}²={(1/(x+1)²).exp(x/x+1)}²
= (1/(x+1)⁴).exp(2x/x+1)

{f(x)}²dx
= (1/(x+1)⁴).exp(2x/x+1).dx
= (1/(x+1)²).(1/(x+1)²).exp(2x/x+1).dx
= -(1/(x+1)²).exp(2x/x+1).d(1/(x+1))

Stel nu even dat 1/(x+1) = q. Dan staat er dus:
-q².exp(2-2q).dq. Dit ziet er al iets prettiger uit. Oplossen gaat partieel. Let goed op de + en - tekens!

ò-q².exp(2-2q).dq
= ... (reken zelf na)
= [(¹/₂q²+¹/₂q+¹/₄).exp(2-2q)]

Nu weer voor q, 1/x+1 substitueren:
= ...
= {(x²+4x+5)/4(x+1)²}.exp(2x/x+1)

Hiermee heb je dus de primitieve. Nu moet je alleen nog de integratiegrenzen invullen. De x=0 (ondergrens) laat zich makkelijk invullen, de x=¥ (bovengrens) is net iets lastiger.
Beschouw de componenten waaruit de primitieve is opgebouwd even apart:
lim x®¥ (x²+4x+5)/4(x+1)²
= lim x®¥ (x²+4x+5)/(4x²+8x+4). Teller en noemer door x² delen:
= lim x®¥ (1 + 4/x + 5/x²)/(4 + 8/x + 4/x²)
= (1 + 0 + 0)/(4 + 0 + 0)
= 1/4

en lim x®¥ exp(2x/x+1) = lim x®¥ exp(2- 2/x+1) = e²

(Vergeet de factor p niet mee te nemen waar we mee begonnen waren.)

groeten,

martijn

mg
14-5-2007