WisFaq!

Re: Oppervlakte

Geachte oscar,
de formule klopt, heb het als volgt opgelost:
y=x^(3/2)
[y'(x)²]= 9/4x
dus:
2pòx^(3/2)Ö[1+9x/4]dx (ondergrens =1, bovengrens=0).
9x=4u²
9dx=8udu
hieruit volgt:
128/243pòu⁴Ö[1+u²]du, bovengrens=3/2,ondergrens=0

gr.
moos

moos
9-5-2007

Antwoord

Beste Moos,

Je hebt gelijk, dat is een mooie substitutie.
De integraal kun je verder uitwerken door gewoon sinh(x) = (e^x-e^-x)/2 en cosh(x) = (e^x+e^-x)/2 in te vullen en de machten uit te werken. Je krijgt dan een som van een aantal gewone exponentiele functies.
Je kunt ook nog wat meer somformules gebruiken zoals cosh(2x) = 1-2sinh²(x). Maar dat wordt ook wat ingewikkeld.
Persoonlijk vind ik partieel integreren hier toch wat eleganter:
uⁿÖ(1+u²)du = ¹/₃d(u^n-1(1+u²)^3/2) - ¹/₃(n-1)^n-2(1+u²)Ö(1+u²)du
= ¹/₃d(u^n-1(1+u²)^3/2) - ¹/₃(n-1)^n-2Ö(1+u²)du - ¹/₃(n-1)ⁿÖ(1+u²)du
Dus:
uⁿÖ(1+u²)du = (1/(n+2)) d(u^n-1(1+u²)^3/2) - ((n-1)/(n+2)) u^n-2Ö(1+u²)du
Als je die twee keer toepast houdt je alleen de wortel over.
Die kun je dan wel met sinh(x) oplossen.

os
9-5-2007